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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Polynômes du 2e degré - Développer Factoriser}
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\tribe{1ST}
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\date{Mars 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Développer}]
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Ci-dessous des polynômes du 2nd degré écrit sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ que vous allez devoir développer.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $(x+4)(x-2)$
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\item $(x-3)(x-8)$
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\item $2(x-4)(x-8)$
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\item $-3(x-1)(x-6)$
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\item $10(x-2)(x-5)$
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\item $0.5(x+1)(x+9)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\hline
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\medskip
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On appelle \textbf{racine} d'un polynôme $f(x)$ une valeur de $x$ telle que $f(x) = 0$.
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Par exemple, $3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$ car
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\[
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f(3) = 3^2 - 2\times3 -3 = 9 - 6 - 3 = 0
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\]
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\hline
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\begin{exercise}[subtitle={Racines}]
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Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
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\begin{enumerate}
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\item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3^2-2x-3$.
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\item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
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\item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
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\item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
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\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
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\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}]
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\begin{enumerate}
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\item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
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\[
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f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 5(x-5)(x-0.2)
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
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\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
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\item Démontrer que $f(x) = g(x)$ pour toutes valeurs de $x$ réelles.
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\item Tracer la représentation graphique de $f$. Que ce passe-t-il pour les valeurs $x=5$et $x=0.2$?
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\end{enumerate}
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\item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
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\[
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h(x) = x^2 + 2x - 15
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\]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
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\item En vous inspirant de ce qui a été fait avant, conjecturer une forme factorisée de $f$. Démontrer que cette forme factorisée convient.
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\end{enumerate}
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\item Proposer une méthode pour factoriser un polynôme du 2nd degré.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
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Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
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\begin{enumerate}
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\item On veut factoriser $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
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\item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
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\[
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-3\qquad -2 \qquad -1 \qquad 1 \qquad 2
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\]
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\item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
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\end{enumerate}
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\item On veut factoriser $g(x) = 2x^2 - 6x + 4$.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
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\item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
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\item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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