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Étude de fonctions et variation pour l'année 2019-2020 avec les premières technologiques
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:date: 2019-10-08
:modified: 2019-10-08
:authors: Bertrand Benjamin
:tags: Fonctions, Graphique, Tableau de variations, Tableau de signe
:category: 1techno
:summary: Étude graphique de fonctions et étude des variations avec les premières technologiques pour l'année 2019-2020.

Automatismes:

- Déterminer graphiquement image-antécédent, appartenance d'un point à une droite
- Résoudre graphiquement eq et ineq
- Lien graphique - tableau de variation - tableau de signe

Étape 1: Modélisation avec des fonctions
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.. image:: 1P_salaires.pdf
    :height: 200px
    :alt: Comparaison de salaires

Trois situations qui varient en fonction d'un paramètre et l'on demande quelle est la plus intéressante. Bien sûr cela dépend du paramètre. Il nous faudra modéliser avec des fonctions, calculer des valeurs particulières ou tracer le graphique. Cette séance pourra débuter en classe mais il sera intéressant d'aller ensuite sur le tableur pour la terminer.

On fera ensuite un gros travail de modélisation et de formalisation mathématique.

**Cahier de bord**: Le résultat des modélisations, les graphiques et l'interprétation géométrique et la définition des fonctions linéaires, affines et constante.

Exercices pour poursuivre:

- 28 et 30 p67 pour la résolution graphique d'équation et inéquations
- 21p66 pour parler d'algo
- 27p67 pour introduire la notion de recette et de coût
- 44p69 similaire avec l'activité.
- 63p71 approximation affine d'un nuage de points

Et comme ils n'ont toujours pour leur livres...

.. image:: 1E_exercices.pdf
    :height: 200px
    :alt: Comparaison de salaires

Étape 2: Modélisation et tableur
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Avant d'attaquer cette séquence, on est allé en salle informatique pour tracer les graphiques correspondants aux fonctions de l'étape 1. Cet aparté m'a semblé nécessaire, les élèves étaient, à de rares exceptions, à l'aise avec le tableur.

.. image:: 2P_enclos.pdf
    :height: 200px
    :alt: Aire suffisante

Cette fois ci, un problème d'optimisation d'aire avec un périmètre fixe. La fonction à optimiser est un polynôme de degré 2. 

On se demande s'il est possible d'atteindre une certaine aire. La question posée de cette façon, permet aux élèves, une fois le dessin de base réalisé, de faire varier la longueur des côtés. Assez rapidement des élèves trouvent configurations qui répondent à la question. La question peut alors pour eux être changé en "trouver TOUTES les configurations donnent une aire plus grande".

Il faudrait à nouveau que les élèves aient accès au tableur pour tracer les courbes et tracer le graphique pour résoudre l'inéquation.

Pour les élèves les plus rapides, on leur demandera de trouver quelle est l'aire maximal possible à atteindre.

**Cahier de bord**: L'exemple traité, définition de polynôme de degré 2, résoudre des équations ou inéquation graphiquement.

Étape 3: Calcul de vitesse et étude graphique
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.. image:: 3P_chutte_libre.pdf
    :height: 200px
    :alt: Mur du son

On travaille sur les données d'altitude et de temps du saut en chute libre de Felix Baumgarther. Le but étant de déterminer combien de temps il a dépassé la vitesse du son et d'autres évènement de son vol.

Cette étude va nous demander de chercher comment calculer la vitesse et donc à découvrir la notion de taux de variation.

**Cahier de bord**: calcul de la vitesse à partir de la position.

Étape 4: Taux de variation
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Par analogie avec la vitesse, on définit la "vitesse" d'une fonction quelconque, le taux de variation.

À partir de données sur le chiffre d'affaire d'une entreprise pris à des moments non réguliers (ou avec des valeurs manquantes), on demande aux élèves quand l'entreprise à eu la plus forte croissance.

**Cahier de bord**: Définition de la croissance du chiffre d'affaire, liens avec le calcul de la vitesse, généralisation du taux de variation d'une fonction.

Exercices pour poursuivre:

.. image:: 4E_taux_variation.pdf
    :height: 200px
    :alt: Exercices autour du taux de variation



Étape 5: Relation entre le taux de variation et la pente d'une droite
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Trame du cours
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.. image:: trame.pdf
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    :alt: Trame du cours Fonctions et variations