2019-2020/TES/DM/DM_19_10/tpl_variation.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
%- macro solveEquation(P)
On commence par calculer le discriminant de $g'(x)=\Var{P}$.
\begin{eqnarray*}
\Delta & = & b^2-4ac \\
\Var{P.delta.explain()|calculus(name="\\Delta")}
\end{eqnarray*}
comme $\Delta = \Var{P.delta} > 0$ donc $P$ a deux racines
\begin{eqnarray*}
x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P.b} - \sqrt{\Var{P.delta}}}{2 \times \Var{P.a}} = \Var{P.roots[0] } \\
x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\Var{-P.b} + \sqrt{\Var{P.delta}}}{2 \times \Var{P.a}} = \Var{P.roots[1] }
\end{eqnarray*}
Ainsi, $g'$ est du signe de $a=\Var{P.a}$ en dehors des racines.
%- endmacro
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
\section*{Partie A}
Dans cette partie, on étudie la fonction
%- set f = Expression.random("{a}*x^2+{b}*x+{c}")
%- set Df = f.differentiate()
\[
f(x) = \Var{f}
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivé de $f$.
\item Étudier le signe de la dérivée $f'$ puis en déduire le tableau de signe de $f$.
\end{enumerate}
\section*{Partie B}
Dans cette partie, on étudie la fonction
%- set g = Expression.random("{a}*x^3+{b}*x^2+{c}*x+{d}", conditions=["4*b**2-4*3*a*c>0"])
%- set Dg = g.differentiate()
%- set maxg = round(max(abs(g(Dg.roots[0]).raw),abs(g(Dg.roots[0]).raw)),1)
\[
g(x) = \Var{g}
\]
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, tracer puis reporter sur votre copie la représentation graphique de $g$ en y indiquant les informations remarquables de ce graphique.
\item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe? concave? Y a-t-il des points d'inflexions?
\item Calculer la dérivé de $g$.
\item Étudier le signe de la dérivée $g'$ puis en déduire le tableau de variations de $g$.
\item Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
\item Dériver $g'$ pour calculer $g''$.
\item Étudier le signe de $g''$ pour en déduire la convexité de $g$ grâce au calcul puis localiser précisément le point d'inflexion.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\section*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item $\Var{Df}$
\item Correction non disponible
\end{enumerate}
\section*{Partie B}
\begin{enumerate}
\item Correction non disponible
\item Correction non disponible
\item $g'(x) = \Var{Dg}$
\item
\Var{solveEquation(Dg)}
Le tableau de variation non disponible en correction
\item Équation de la tangente: $y = \Var{Dg(0)}x + \Var{g(0)}$
\item $g''(x) = \Var{Dg.differentiate()}$
\end{enumerate}
\end{solution}