2019-2020/TES/Suites/Limite_ArithmeticoGeo/1E_algo.tex

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2020-05-05 07:53:14 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage[linesnumbered, boxed, french]{algorithm2e}
\pagestyle{empty}
\title{Algorithme et suite}
\date{Novembre 2019}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Algorithme pour générer des nombres}]
Ci-dessous 2 algorithmes et les nombres générés en fonction du nombre $n$ entré.
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\textbf{Algorithme 1 .}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Entree{n}
\Deb{
$u \leftarrow 4$ \;
\Pour{$i$ de 1 à n}{
$u \leftarrow u\times 1.5$ \;
}
}
\Sortie{u}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\textbf{Algorithme 2 .}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Entree{n}
\Deb{
$u \leftarrow 10$ \;
\Pour{$i$ de 1 à n}{
$u \leftarrow 0.9*u + 11$ \;
}
}
\Sortie{u}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{enumerate}
\item Exécuter les algorithmes pour n=2, n=3... jusqu'à n=6.
\item Modéliser avec une suite les valeurs renvoyées par les algorithmes.
\item Tracer l'allure de la représentation graphique des valeurs retournées par les algorithmes.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[ subtitle={ Comportement à long terme } ]
Dans cet exercice, on souhaite déterminer l'effet à long terme d'une baisse ou d'une hausse à taux constant à partir de la valeur initial 1 (on peut imaginer 1hectare, 1 milliard de personnes...).
\begin{enumerate}
\item La quantité considérée baisse à intervalles réguliers de 40\% de sa valeur.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la quantité après un intervalle de temps. Après deux intervalles.
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\item À long terme, comment décrire cette quantité?
\item Modéliser l'évolution de cette quantité à l'aire d'une suite.
\item On considère l'algorithme ci-contre.
L'exécuter et noter la valeur de $N$ finale pour:
\begin{itemize}
\item $S = 0.1$
\item $S = 0.05$
\item $S = 0.01$
\item $S = 0.001$
\end{itemize}
\item Ces résultats confirment-ils la réponse à la questions 1.b?
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Entree{S}
\Deb{
$N \leftarrow 0$ \;
$U \leftarrow 1$ \;
\Tq{$U > S$}{
$U \leftarrow 0.6*U$ \;
$N \leftarrow N+1$ \;
}
}
\Sortie{u}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\item On considère maintenant une quantité qui augmente de 30\% par intervalle.
\begin{enumerate}
\item Quel semble être le comportement à long terme de cette quantité?
\item Adapter l'algorithme précédent pour confirmer votre réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Dépréciation d'une monnaie}]
Le 28 juin 1919, a été signé dans la galerie des glaces du château de Versailles, le traité de pais imposant à l'Allemagne de rembourser les dégâts causés par la Première Guerre Mondiale. Ne pouvant pas rembourser cette dette, l'Allemagne a connu une forte dépréciation du mark (DM) en 1923 suite à l'occupation de la Ruhr par l'Armée française.
En janvier 2923, 1 dollars US (\$) valait \np{17972}DM. En juillet 2923, 1\$ valait \np{354412}DM.
\begin{enumerate}
\item Quel a été le taux d'évolution de la valeur en DM de 1\$ sur cette période?
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\item Montrer que la hausse mensuelle a été d'environ 64,5\%.
\item Proposer une modélisation à l'aide d'une suite de la valeur en DM de 1\$.
\item Compléter l'algorithme pour qu'il affiche le nombre de mois qu'il aurait fallu attendre à partir de juillet 1923 pour que 1\$ dépasse 10 millions de marks.
\item Exécuter l'algorithme.
\item En août 1923, 1\$ valait \np{4620455}DM. Que peut-on dire du modèle étudier.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{algorithm}[H]
\SetAlgoLined
\Deb{
$N \leftarrow 0$ \;
$U \leftarrow \np{354412}$ \;
\Tq{\ldots}{
$N \leftarrow \ldots$ \;
$U \leftarrow \ldots$ \;
}
}
\Sortie{\ldots}
\end{algorithm}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}