Feat: Suite du chapitre sur les limites pour les Tsti2d

Tsti2d/Analyse/Operation_limites/4B_composee.tex

@@ -0,0 +1,61 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Opération sur les limites -- Composées}
+\date{Avril 2020}
+
+\begin{document}
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Composée}
+
+\subsection*{Propriété - composée avec l'exponentielle}
+Soit $u(x)$ une fonction,
+\begin{itemize}
+    \item Si $\ds \lim u(x) = +\infty$ alors $\lim e^{u(x)} = +\infty$.
+    \item Si $\ds \lim u(x) = -\infty$ alors $\lim e^{u(x)} = 0$.
+    \item Si $\ds \lim u(x) = a$ alors $\lim e^{u(x)} = e^a$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Remarque}
+Ici les limites ne sont pas précisées car elles n'influencent pas sur le résultat.
+
+\subsubsection*{Exemples}%
+Limites suivantes
+\[
+    \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{2x + 1} =
+\]
+\[
+    \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{-x + 1}=
+\]
+\[
+    \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{\frac{1}{x}}=
+\]
+\afaire{}
+
+\subsection*{Propriété - composée avec le logarithme}
+Soit $u(x)$ une fonction strictement positive,
+\begin{itemize}
+    \item Si $\ds \lim u(x) = +\infty$ alors $\lim \ln(u(x)) = +\infty$.
+    \item Si $\ds \lim u(x) = 0$ alors $\lim \ln(u(x)) = -\infty$.
+    \item Si $\ds \lim u(x) = a$ alors $\lim \ln(u(x)) = \ln(a)$.
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Remarque}
+Ici les limites ne sont pas précisées car elles n'influencent pas sur le résultat.
+
+\subsubsection*{Exemples}%
+Limites suivantes
+\[
+    \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(2x + 1) =
+\]
+\[
+    \lim_{x \rightarrow 1} \ln(-x + 1)=
+\]
+\[
+    \lim_{x \rightarrow 0} \ln(2x + 2)=
+\]
+\afaire{}
+
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Operation_limites/4E_composee.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Limites de fonctions et puissances - Exercices}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Mai 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step={4},
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{banque.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Operation_limites/banque.tex

@@ -110,4 +110,89 @@
         \item En vous aidant de la calculatrice, tracer l'allure de la courbe de $f$ et noter les asymptotes.
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Composée avec une exponentielle}, step={4}, topics={Limite}]
+    Retrouver les limites suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{2x + 1} = $
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{-4x - 10} = $
+
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{2x^3 + 2x - 1}$
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} e^{\frac{3}{x}}$
+
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 3} e^{5x + 2}= $
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 1+} e^{\frac{1}{x-1}}= $
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Solution d'équations différentielles}, step={4}, topics={Limite}]
+    \begin{enumerate}
+        \item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
+            \[
+                \begin{cases}
+                    y' = -2y\\
+                    y(0) = 10
+                \end{cases}
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer la solution de cette équations.
+                \item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
+            \end{enumerate}
+        \item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
+            \[
+                \begin{cases}
+                    y' = 10y\\
+                    y(0) = 1
+                \end{cases}
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer la solution de cette équations.
+                \item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
+            \end{enumerate}
+        \item On souhaite étudier la solution de l'équation différentielle
+            \[
+                \begin{cases}
+                    y' = -2y + 10\\
+                    y(0) = 3
+                \end{cases}
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer la solution de cette équations.
+                \item Déterminer la limite en $+\infty$ de la solution.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Composée avec un Logarithme}, step={4}, topics={Limite}]
+    Retrouver les limites suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln(2x + 1) = $
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 1+} \ln(x-1) = $
+
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow 0} x + \ln(x)= $
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} x + \ln(x)= $
+
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \ln\frac{2x+1}{x-1}$
+            \item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \ln\frac{-5x^2 + 2}{10x^2 + x + 1}$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Composée avec un Logarithme}, step={4}, topics={Limite}]
+    Soit $f$ la fonction définie sur $\intOO{0}{+\infty}$ pas
+    \[
+        f(x) = 1 + 2\frac{\ln x}{x}
+    \]
+    \begin{enumerate}
+        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
+            \[
+                f'(x) = \frac{2 - 2\ln x}{x^2}
+            \]
+        \item  Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
+        \item Compléter le tableau de variations en y ajoutant les limites et les valeurs remarquables.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

Tsti2d/Analyse/Operation_limites/index.rst

@@ -53,11 +53,15 @@ Exercices
     :height: 200px
     :alt: Exercices sur les limites d'une fraction rationnelle
 
-Étape 4: Limite avec l'exponentielle
-====================================
+Étape 4: Composée avec l'exponentielle et logarithme
+====================================================
+
+Cours: limite d'une fonction composée avec exponentielle ou logarithme
+
+.. image:: 4B_composee.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Limites d'une fonction composée avec exponentielle ou logarithme
 
-Étape 5: Limite avec le logarithme
-==================================
 
 Étape 6: Annales
 ================