Feat: Programme de la semaine Tsti2d
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Intervalles de confiance et de fluctuation}
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\tribe{Terminale TESL}
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\date{Mai 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Loi normale et écart-type}
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\subsection*{Propriété}
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Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ alors
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\begin{itemize}
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\item $ P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) = 0,683$
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\item $ P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 0.954$
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\item $ P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3 \sigma) = 0,997$
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\item $ P(\mu - 1,96\sigma < X < \mu + 1,96 \sigma) = 0,950$
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\end{itemize}
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\subsubsection*{Remarque}
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Les 3 premières valeurs sont à connaître et la dernière nous servira pour définir les outils statistiques dans la suite du chapitre.
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\section{Approximation de la loi binomiale par la loi normale}
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\subsection*{Propriété}
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Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $Y\sim \mathcal{N} (np, \sqrt{np(1-p)})$.
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On considèrera que $Y$ est une bonne approximation de $X$ quand est $n$ est assez grand ce qui ce traduira par
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\[
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n \geq 30 \qquad np \geq 5 \qquad n(1-p) \geq 5
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\]
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\end{document}
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@ -0,0 +1,23 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Intervalles de confiance et de fluctuation \\ Binomiale vers Normale}
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\tribe{Terminale TESL}
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\date{Mai 2020}
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\pagestyle{empty}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\renewcommand{\baselinestretch}{0.8}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=1,
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}
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\begin{document}
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\input{banque.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,50 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Intervalles de confiance et de fluctuation (suite)}
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\tribe{Terminale TESL}
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\date{Mai 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\section{Intervalle de fluctuation}
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\subsection*{Vocabulaire}
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\begin{itemize}
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\item On étudie un \textbf{caractère} d'une \textbf{population} et on appelle en générale $p$ la proportion d'individus possédant ce caractère dans la population.
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\item On prélève un échantille de $n$ individus. On supposera que ce tirage sera équivalent à un tirage avec remise et donc que la taille de la population est très grand par rapport à la taille de l'échantillon.
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||||
\item On notera $X_n$ la variable aléatoire correspondant au nombre d'individus possédant ce caractère et $F_n$ la proportion correspondante.
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\end{itemize}
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\subsection*{Définition - Intervalle de fluctuation}
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En reprenant les notations précédente, on appelle \textbf{intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95\%} l'intervalle
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\[
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||||
I_n = \intFF{p - 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}{p + 1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}
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\]
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\subsection*{Propriété}
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Quand $n$ et $p$ correspondent au cas où la loi binomiale peut être approchée par une loi normale, c'est à dire
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\[
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n \geq 30 \qquad np \geq 5 \qquad n(1-p) \geq 5
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\]
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||||
Alors la probabilité que $F_n$ appartienne à $I_n$ est égale à 0,95.
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\[
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||||
P(F_n \in I_n) = 0,95
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\]
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\subsubsection*{Exemple}
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\afaire{}
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On suppose que un quart de la population française est brun. On prélève un échantillon de 100 personnes au hasard. Calculer l'intervalle de fluctuation.
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\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,20 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Intervalles de confiance et de fluctuation \\ Binomiale vers Normale}
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||||
\tribe{Terminale TESL}
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||||
\date{Mai 2020}
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||||
\pagestyle{empty}
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||||
\DeclareExerciseCollection{banque}
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||||
\xsimsetup{
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||||
step=2,
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||||
}
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\begin{document}
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\input{banque.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,106 @@
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Loi normale et écart-type}, step={1}, topics={Loi normale}]
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\begin{enumerate}
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||||
\item Soit $X \sim \mathcal{N}(50, 3)$ calculer les probabilités suivantes
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\[
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||||
P(47 < X < 53) \qquad
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||||
P(44 < X < 56) \qquad
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||||
P(41 < X < 59)
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||||
\]
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||||
\item Soit $Y \sim \mathcal{N}(10, 0.5)$. En notant $\mu$ l'espérance et $\sigma$ l'écart-type de $Y$, calculer les probabilités suivantes
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||||
\[
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||||
P(\mu - \sigma < Y < \mu + \sigma) \qquad
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||||
P(\mu - 2\sigma < Y < \mu + 2\sigma) \qquad
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||||
P(\mu - 3\sigma < Y < \mu + 3 \sigma)
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||||
\]
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||||
\item Même question pour $Z \sim \mathcal{N}(20, 2)$.
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||||
\item De manière générale, que peut-on dire des probabilités ci-dessous dans le cas de la loi normale?
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||||
\[
|
||||
P(\mu - \sigma < Y < \mu + \sigma) \qquad
|
||||
P(\mu - 2\sigma < Y < \mu + 2\sigma) \qquad
|
||||
P(\mu - 3\sigma < Y < \mu + 3 \sigma)
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||||
\]
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale vers loi normale}, step={1}, topics={Loi normale, Loi binomiale}]
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||||
Dans cet exercice, nous allons étudier l'approximation de la loi binomiale par la loi normale. Dans la première partie, nous étudieront une loi binomiale particulière puis dans la deuxième, nous systématiserons nos calculs. Cette étude se fera à partir du tableur.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Soit $X \sim \mathcal{B}(30, 0.4)$.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$.
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||||
\item Avec un tableur reproduire le tableau suivant:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.4]{./fig/tableur_1}
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\end{center}
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||||
\item Qu'a-t-on écrit dans les cases \texttt{D1} et \texttt{D2} pour calculer automatiquement l'espérance et l'écart-type?
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||||
\item Compléter la colonne \texttt{B} avec les probabilités. Pour cela vous utiliserez la commande \texttt{LOI.Binomiale} (voir l'aide à la fin du document). On fera aller $k$ de 0 à 30 ($n$).
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||||
\item On approche la loi binomiale par la loi normale ayant la même espérance et le même écart-type. On note $Y$ la variable aléatoire qui approche $X$. Quels sont les paramètres de la loi de $Y$?
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||||
\item Compléter la colonne \texttt{C} en utilisant la commande \texttt{Loi.normale} (voir aide à la fin du document).
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||||
\item Tracer un diagramme bâtons avec en abscisse les valeurs de k et en ordonnées les probabilités pour la loi binomiale et la loi normale.
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||||
\item Comparer ces deux graphiques.
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\end{enumerate}
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||||
\item À partir du tableau précédent. Changer les valeurs de $n$ et $p$ pour vérifier quand les deux diagrammes commencent à ne plus correspondre.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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Documentation pour Libreoffice/openoffice
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\begin{itemize}
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\item \texttt{Loi.binomiale}: \url{https://wiki.documentfoundation.org/FR/Calc:_fonction_LOI.BINOMIALE}
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||||
\item \texttt{Loi.normale}: \url{https://wiki.documentfoundation.org/FR/Calc:_fonction_LOI.NORMALE}
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||||
\end{itemize}
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||||
Documentation pour Excel
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\begin{itemize}
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||||
\item \texttt{Loi.binomiale}: \url{https://support.microsoft.com/fr-fr/office/loi-binomiale-loi-binomiale-fonction-506a663e-c4ca-428d-b9a8-05583d68789c}
|
||||
\item \texttt{Loi.normale}: \url{https://support.office.com/fr-fr/article/LOI-NORMALE-LOI-NORMALE-fonction-126DB625-C53E-4591-9A22-C9FF422D6D58}
|
||||
\end{itemize}
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||||
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Parité}, step={2}, topics={Statistiques}]
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||||
Dans le tableau ci-dessous ont été reporté les effectifs de différentes entreprises.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{5}{p{1.4cm}|}}
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\hline
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||||
Entreprise& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
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\hline
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Femmes & 400 & 450 & 1080 & 900 & 70 \\
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\hline
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||||
Hommes & 600 & 550 & 920 & 1100 & 50 \\
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\hline
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||||
\end{tabular}
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\end{center}
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On souhaiterait déterminer quels sont les entreprises qui respectent la parité.
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\begin{enumerate}
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\item Définir succinctement la notion de parité.
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||||
\item D'après vous parmi les entreprises du tableau, lesquelles semblent respecter la parité?
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||||
\item Comment pourrait-on construire un critère pour déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité en se basant uniquement sur ses effectifs? \textit{Cette questions est une question ouverte. C'est à vous de déterminer le ou les critères qui vous semblent pertinents ou à minima un mécanisme de décision}.
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||||
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Construction de l'intervalle de fluctuation}, step={2}, topics={Statistiques}]
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On reprend le cadre de l'exercice sur la parité et l'on définit la parité de la façon suivante:
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\begin{quote}
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Chaque employé a une chance sur deux d'être une femme.
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\end{quote}
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On concidère une entreprise avec 100 salariés et on suppose qu'elle respecte la parité. Et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de femme dans cette entreprise.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$? Préciser ses paramètres.
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||||
\item On approche $X$ par une loi normale. Expliquer pourquoi cette opération est possible et préciser les paramètres de cette loi. Dans la suite on concidèrera que $X$ suit cette loi normale.
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\item Déterminer $a$ et $b$ pour avoir
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\[
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||||
P(a < X < b) = 0.95
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\]
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||||
\item On définit $I = \dfrac{X}{100}$ la variable aléatoire qui modélise la proportion de femme dans cette entreprise. En vous aidant de la question précédente determiner $c$ et $d$ tel que
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||||
\[
|
||||
P(c < I < d) = 0.95
|
||||
\]
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||||
\item Interpréter la question précédente.
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||||
\item On condidère une deuxième entreprise qui a elle aussi 100 employés dont 39 femmes. D'après ce qui a été fait précedement, peut-on concidéré qu'elle respecte la parité avec un niveau de confiance de 95\%?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
\collectexercisesstop{banque}
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Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 19 KiB |
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@ -1,10 +1,46 @@
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|||
Intervalles de fluctuation et de confiance pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
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Intervalles de fluctuation et de confiance pour l'année 2019-2020 en terminale sti2d
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####################################################################################
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:date: 2020-05-28
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:modified: 2020-05-28
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:modified: 2020-06-01
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||||
:authors: Bertrand Benjamin
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:category: Tsti2d
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:tags: Probabilité, Statistiques
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:summary: Intervalles de fluctuation et de confiance pour l'année 2019-2020 en terminale STI2D
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:summary: Passage de la loi binomiale à la loi normale et intevalle en statistiques pour l'année 2019-2020 en terminale Tsti2d
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Étape 1: De la loi binomiale à la loi normale
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Remobilisation des notions autour de la loi binomiale et la loi normale.
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.. image:: ./1E_binomiale_normal.pdf
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:height: 200px
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:alt: Écart-type pour la loi normale et approximation
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Bilan
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.. image:: ./1B_binomiale_normale.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan écart-type pour la loi normale et approximation
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Étape 2: Intervalles de fluctuation
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Prolème ouvert sur le respect de la parité. Les élèves sont amenés à se poser la question de comment déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité. Pour cela ils vont devoir construire un critère en se basant sur les effectifs.
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.. image:: ./2E_parite.pdf
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:height: 200px
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:alt: Problème ouvert sur le respect de la parité.
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On pourra espéré que les élèves aient évoqué la notion de proportion et d'intervalle. Nous formaliserons ensuite ces notions.
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Bilan
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.. image:: ./2B_intervalle_fluctuation.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur l'intervalle de fluctuation
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Étape 3: Intervalles de confiance
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@ -2,7 +2,7 @@ Programmes semaine par semaine pendant le confinement avec les Tsti2d
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:date: 2020-04-14
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||||
:modified: 2020-05-28
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||||
:modified: 2020-06-01
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||||
:authors: Bertrand Benjamin
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:category: Tsti2d
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:tags: Progression
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@ -30,14 +30,14 @@ Cette organisation est amenée à évoluer en fonction de mon ressenti et surtou
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Semaine 23: 01/06 -> 05/06
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Vous aurez besoin du tableur pour jeudi. Le travail à rendre sera un travail sur tableur.
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S23 - Programme Visio (2h)
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On commencera exactement à l'heure précisée donc essayez de vous connecter au moins 5min avant pour résoudre les éventuels problèmes techniques (je donnerai le lien 15 min avant). On commencera directement par la correction des questions flashs alors faites-les avant!
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- Mardi 13h45-14h15: présentation de la semaine,
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- Mercredi 11h15-11h45:
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- Jeudi 15h45-16h45:
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- Mardi 13h45-14h15: présentation de la semaine, travail sur des probabilités remarquables de la loi normale
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- **Mercredi 11h15-11h45: réunion de préparation de la reprise, pas de visio**
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- Jeudi 15h45-16h45: approximation de la loi binomiale avec la loi normale sur tableur.
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S23 - Questions flashs (3x5min)
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@ -50,10 +50,6 @@ S23 - Questions flashs (3x5min)
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- Mercredi
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.. image:: ./Questions_Flash/P5/QF_20_06_01-2.pdf
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:height: 200px
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:alt: Questions flash
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- Jeudi
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.. image:: ./Questions_Flash/P5/QF_20_06_01-3.pdf
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@ -63,8 +59,17 @@ S23 - Questions flashs (3x5min)
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S23 - Intervalle de fluctuation
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S23 - Équations différentielles d'ordre 2
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Exercices sur des probabilités à connaître sur la loi normale et approximation de la loi binomiale avec la loi normale.
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.. image:: ./Probabilite/Intervalle_fluctuation_confiance/1E_binomiale_normal.pdf
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:height: 200px
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||||
:alt: Exercices sur des probabilités à connaître sur la loi normale et approximation de la loi binomiale avec la loi normale.
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Cours: Bilan sur les valeurs de probabilités à connaître sur la loi normale et l'approximation
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.. image:: ./Probabilite/Intervalle_fluctuation_confiance/1B_binomiale_normale.pdf
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:height: 200px
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:alt: Exercices sur des probabilités à connaître sur la loi normale et approximation de la loi binomiale avec la loi normale.
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Semaine 22: 25/05 -> 28/05
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Reference in New Issue