Feat: Exercices d'annales utilisant la limite

Tsti2d/Analyse/Operation_limites/5E_annales.tex

@@ -0,0 +1,26 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Limites de fonctions - Annales}
+\tribe{Terminale Tsti2d}
+\date{Mai 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step={5},
+}
+
+\begin{document}
+
+Dans les exercices suivants, vous aurez un moment besoin de calculer l'équation d'une tangente. Je vous rappelle que l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ se calcule avec la formule suivante
+\[
+    y = f'(a)(x-a) + f(a)
+    \]
+
+\input{banque.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Tsti2d/Analyse/Operation_limites/banque.tex

@@ -195,4 +195,173 @@
         \item Compléter le tableau de variations en y ajoutant les limites et les valeurs remarquables.
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Vitesse de rotation}, step={5}, topics={Limite}]
+	% Polynésie Sept 2018 Ex 4
+	On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
+
+	\[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\]
+
+	On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
+
+	\medskip
+
+	\begin{enumerate}
+		\item
+			\begin{enumerate}
+				\item Calculer $w(0)$.
+				\item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
+			\end{enumerate}
+		\item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle
+			$[0~;~+ \infty[$.
+			\begin{enumerate}
+				\item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
+				\item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
+				\item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
+				\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
+			\end{enumerate}
+	\end{enumerate}
+
+	\bigskip
+
+	\textbf{Partie B}
+
+	\medskip
+
+	On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
+	$150$~rad.s$^{-1}$.
+
+	On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
+
+	Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
+
+	\[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\]
+
+	où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.
+
+	\medskip
+
+	\begin{enumerate}
+		\item
+			\begin{enumerate}
+				\item Résoudre cette équation différentielle.
+				\item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$.
+			\end{enumerate}
+		\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}.
+		\item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée
+
+			lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.
+
+			Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur
+			exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
+	\end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Carbon 14}, step={5}, topics={Limite}]
+	% Nouvelle Calédone Novembre 2018 Ex1
+	\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. }
+
+	\smallskip
+
+	Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
+
+	À leur mort, l'assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre.
+
+	\smallskip
+
+	On note $f(t)$ la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l'instant $t$ après sa mort (t exprimé en milliers d'années).
+
+	\bigskip
+
+	\textbf{Partie A :}
+
+	\medskip
+
+	On admet que $f$ est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle :
+
+	\[ y' = - 0,124y \qquad (E).\]
+
+	\smallskip
+
+	\begin{enumerate}
+		\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
+		\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 15,3$.
+	\end{enumerate}
+
+	\bigskip
+
+	\textbf{Partie B :}
+
+	\medskip
+
+	On admet que la fonction $f$ est définie par $f(t) = 15,3\text{e}^{-0,124t}$  sur
+	$[0~;~+\infty[$.
+
+	\medskip
+
+	\begin{enumerate}
+		\item Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
+		\item Déterminer la limite de $f$ au voisinage de l'infini.
+
+			Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
+	\end{enumerate}
+
+	\bigskip
+
+	\textbf{Partie C :}
+
+	\medskip
+
+	On rappelle que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de $t$ (en milliers d'années).
+
+	\medskip
+
+	\begin{enumerate}
+		\item Des archéologues ont trouvé des fragments d'os présentant une concentration en carbone 14 égale à $7,27$~unités.
+
+			Justifier que l'on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à \np{6000}~ans.
+		\item Lorsque la concentration en carbone 14 d'un organisme devient inférieure à $0,3$\,\% de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14.
+
+			Déterminer l'âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
+	\end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Octane}, step={5}, topics={Limite}]
+	% Métropole Mai 2019 Ex 3
+	L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
+
+	Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
+
+	La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
+	du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
+	l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
+
+	\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
+
+	À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
+
+	\begin{enumerate}
+		\item
+			\begin{enumerate}
+				\item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
+				\item Donner $f(0)$.
+				\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
+			\end{enumerate}
+		\item
+			\begin{enumerate}
+				\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+				\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+				\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
+			\end{enumerate}
+		\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
+		\item
+			\begin{enumerate}
+				\item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
+
+					Interpréter le résultat dans le contexte.
+
+				\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
+			\end{enumerate}
+	\end{enumerate}
+\end{exercise}
 \collectexercisesstop{banque}

Tsti2d/Analyse/Operation_limites/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Opération sur les limites de fonctions pour l'année 2019-2020 en terminale STI
 ################################################################################
 
 :date: 2020-05-03
-:modified: 2020-05-08
+:modified: 2020-05-23
 :authors: Bertrand Benjamin
 :category: Tsti2d
 :tags: Fonctions, Limites
@@ -62,6 +62,16 @@ Cours: limite d'une fonction composée avec exponentielle ou logarithme
     :height: 200px
     :alt: Limites d'une fonction composée avec exponentielle ou logarithme
 
+Exercices
+
+.. image:: 4E_composee.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur les limites de fonctions contenant du log et de l'exp
 
 Étape 6: Annales
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+
+.. image:: 5E_annales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices d'annales avec des questions sur les limites.
+