Feat: Exercices d'annales utilisant la limite
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Tsti2d/Analyse/Operation_limites/5E_annales.tex
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@ -0,0 +1,26 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Limites de fonctions - Annales}
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\tribe{Terminale Tsti2d}
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\date{Mai 2020}
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\pagestyle{empty}
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\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step={5},
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}
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\begin{document}
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Dans les exercices suivants, vous aurez un moment besoin de calculer l'équation d'une tangente. Je vous rappelle que l'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $a$ se calcule avec la formule suivante
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\[
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y = f'(a)(x-a) + f(a)
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\]
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\input{banque.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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@ -195,4 +195,173 @@
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\item Compléter le tableau de variations en y ajoutant les limites et les valeurs remarquables.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vitesse de rotation}, step={5}, topics={Limite}]
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% Polynésie Sept 2018 Ex 4
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On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par :
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\[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\]
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On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $w(0)$.
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\item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite.
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\end{enumerate}
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\item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle
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$[0~;~+ \infty[$.
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\begin{enumerate}
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\item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$.
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\item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
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\item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
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\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 .
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de
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$150$~rad.s$^{-1}$.
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On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage.
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Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ :
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\[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\]
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où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre cette équation différentielle.
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\item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$.
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\end{enumerate}
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\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}.
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\item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée
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lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$.
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Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur
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exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Carbon 14}, step={5}, topics={Limite}]
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% Nouvelle Calédone Novembre 2018 Ex1
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\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. }
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\smallskip
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Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités.
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À leur mort, l'assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre.
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\smallskip
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On note $f(t)$ la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l'instant $t$ après sa mort (t exprimé en milliers d'années).
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\bigskip
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\textbf{Partie A :}
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\medskip
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On admet que $f$ est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle :
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\[ y' = - 0,124y \qquad (E).\]
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\smallskip
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\begin{enumerate}
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\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
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\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 15,3$.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B :}
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\medskip
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On admet que la fonction $f$ est définie par $f(t) = 15,3\text{e}^{-0,124t}$ sur
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$[0~;~+\infty[$.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
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\item Déterminer la limite de $f$ au voisinage de l'infini.
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Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie C :}
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\medskip
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On rappelle que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de $t$ (en milliers d'années).
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Des archéologues ont trouvé des fragments d'os présentant une concentration en carbone 14 égale à $7,27$~unités.
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Justifier que l'on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à \np{6000}~ans.
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\item Lorsque la concentration en carbone 14 d'un organisme devient inférieure à $0,3$\,\% de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14.
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Déterminer l'âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Octane}, step={5}, topics={Limite}]
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% Métropole Mai 2019 Ex 3
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L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
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Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane.
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La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
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du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
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l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
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\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
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À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
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\item Donner $f(0)$.
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\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
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\end{enumerate}
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
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\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
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\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
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\end{enumerate}
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\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
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\item
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\begin{enumerate}
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\item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
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Interpréter le résultat dans le contexte.
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\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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@ -2,7 +2,7 @@ Opération sur les limites de fonctions pour l'année 2019-2020 en terminale STI
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:date: 2020-05-03
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:modified: 2020-05-08
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:modified: 2020-05-23
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:authors: Bertrand Benjamin
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:category: Tsti2d
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:tags: Fonctions, Limites
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@ -62,6 +62,16 @@ Cours: limite d'une fonction composée avec exponentielle ou logarithme
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:height: 200px
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:alt: Limites d'une fonction composée avec exponentielle ou logarithme
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Exercices
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.. image:: 4E_composee.pdf
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:height: 200px
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:alt: Exercices sur les limites de fonctions contenant du log et de l'exp
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Étape 6: Annales
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.. image:: 5E_annales.pdf
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:height: 200px
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:alt: Exercices d'annales avec des questions sur les limites.
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