Feat: limite d'une fraction rationnelle

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Bertrand Benjamin 2020-05-08 09:48:25 +02:00
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@ -0,0 +1,41 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Opération sur les limites -- Fractions rationnelles}
\date{Avril 2020}
\begin{document}
\setcounter{section}{1}
\section{Fractions rationnelles}
\subsection*{Propriété}
La limite en $+\infty$ ou $-\infty$ d'une fraction rationnelle est la même que le quotient des fonctions monômes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur:
\[
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{ax^n + bx^{n-1} + ... + c}{a'x^m + b'x^{m-1} + ... + c'} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{ax^n}{a'x^m}
\]
\[
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{ax^n + bx^{n-1} + ... + c}{a'x^m + b'x^{m-1} + ... + c'} = \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{ax^n}{a'x^m}
\]
\subsubsection*{Exemples}%
Limites suivantes
\[
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x^3 + 3}{x + 1} =
\]
\[
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2x - 4}{x^2 + 1} =
\]
\afaire{}
\subsubsection*{Remarque}
Cette propriété n'est valable que pour les limites en $+\infty$ et $-\infty$.
\[
\lim_{x \rightarrow 0+} \frac{2x^2 + 2}{x + 3} =
\]
\[
\lim_{x \rightarrow 0+} \frac{2x^2 + 2}{x} =
\]
\afaire{}
\end{document}

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@ -0,0 +1,21 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Limites de fonctions et puissances - Exercices}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Mai 2020}
\pagestyle{empty}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
step={3},
}
\begin{document}
\input{banque.tex}
\printcollection{banque}
\end{document}

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@ -78,4 +78,36 @@
\end{multicols} \end{multicols}
\end{exercise} \end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Limites de fractions rationnelles}, step={3}, topics={Limite}]
Retrouver les limites suivantes
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x + 1}{x^2 - 3} = $
\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{4x^3 - 12}{2x^2 - 3} = $
\item $\ds \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{2x + 1}{5x - 3} = $
\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{0.4x+1}{0.2x^2 - 3} = $
\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^3 + 3x^2 +1}{x^5 + 2x - 3} = $
\item $\ds \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x+2x^2}{3x^2 - 3} = $
\item $\ds \lim_{x \rightarrow 0+} \frac{x+1}{x^2 - 3} = $
\item $\ds \lim_{x \rightarrow 4+} \frac{x+1}{x^2 - 3} = $
\item $\ds \lim_{x \rightarrow 1-} \frac{x+1}{x - 1} = $
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction rationnelle}, step={3}, topics={Limite}]
On souhaite étudier la fonction $f(x)$ définie sur $\intOO{-\infty}{1}\cup\intOO{1}{+\infty}$ par
\[
f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur interdite de $f$.
\item Calculer la dérivé de $f$.
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
\item Compléter le tableau de variation en y ajoutant les limites que vous justifierez.
\item En vous aidant de la calculatrice, tracer l'allure de la courbe de $f$ et noter les asymptotes.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque} \collectexercisesstop{banque}

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@ -2,7 +2,7 @@ Opération sur les limites de fonctions pour l'année 2019-2020 en terminale STI
################################################################################ ################################################################################
:date: 2020-05-03 :date: 2020-05-03
:modified: 2020-05-07 :modified: 2020-05-08
:authors: Bertrand Benjamin :authors: Bertrand Benjamin
:category: Tsti2d :category: Tsti2d
:tags: Fonctions, Limites :tags: Fonctions, Limites
@ -38,11 +38,26 @@ Exercices
:height: 200px :height: 200px
:alt: Exercice sur les limites de fonctions avec les puissances. :alt: Exercice sur les limites de fonctions avec les puissances.
Étape 3: Limite avec l'exponentielle Étape 3: Limite d'une fraction rationnelle
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Cours: limite d'une fraction rationnelle
.. image:: 3B_fraction_rationnelle.pdf
:height: 200px
:alt: Limites d'une fraction rationnelle
Exercices
.. image:: 3E_fraction_rationnelle.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices sur les limites d'une fraction rationnelle
Étape 4: Limite avec l'exponentielle
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Étape 4: Limite avec le logarithme Étape 5: Limite avec le logarithme
================================== ==================================
Étape 5: Annales Étape 6: Annales
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@ -53,14 +53,38 @@ S20 - Annales loi exponentielles (30min)
Deux exercices complets du bac de l'année dernière. Seules les parties B sont sur la loi exponentielle. Je vous devez à les faire en entier (sauf la partie C de l'exercice 1 qui est sur un chapitre que l'on a pas encore fait). Deux exercices complets du bac de l'année dernière. Seules les parties B sont sur la loi exponentielle. Je vous devez à les faire en entier (sauf la partie C de l'exercice 1 qui est sur un chapitre que l'on a pas encore fait).
.. image:: 4E_annales.pdf .. image:: ./Probabilite/Loi_exponentielle/4E_annales.pdf
:height: 200px :height: 200px
:alt: Exercices d'annales sur la loi exponentielle :alt: Exercices d'annales sur la loi exponentielle
**À rendre: exercice 1 partie A et B OU exercice 2 partie B** **À rendre: exercice 1 partie A et B OU exercice 2 partie B**
S20 - Opérations et limites S20 - Opérations et limites (2h15)
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- Cours: Limites des fonctions puissances et des polynômes
.. image:: ./Analyse/Operation_limites/1B_puissances.pdf
:height: 200px
:alt: Limites des fonctions puissances.
- Exercices: limites des fonctions polynômes et puissance
.. image:: ./Analyse/Operation_limites/2E_puissances.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices sur les limites des fonctions puissances et polynômes.
Cours: limite d'une fraction rationnelle
.. image:: 3B_fraction_rationnelle.pdf
:height: 200px
:alt: Limites d'une fraction rationnelle
Exercices: limite d'une fraction rationnelle
.. image:: 3E_fraction_rationnelle.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices sur les limites d'une fraction rationnelle
Semaine 19: 4/05 -> 8/05 Semaine 19: 4/05 -> 8/05
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