\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Dérivation de ln}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Janvier 2020}

\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}]
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
            \item $f(x) = x\ln(x)$
            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
            \item $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
    Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la dérivée, la mettre sur un seul dénominateur, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2x-3-4\ln(x)$ sur $I=\R^{+*}$
            \item $g(x) = x^2 -3x + 2 + 3\ln(x)$ sur $I=\R^{+*}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Fonction annexe}]
    On souhaite étudier les variations de la fonction
    \[
        f(x) = \frac{\ln(x)}{x} - x + 2 \mbox{ sur } R^{+*}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $f(x) = \dfrac{\ln(x) - x^2 + 2x}{x}$.
                \item Démontrer que la dérivée de $f$ peut s'écrire
                    \[
                        f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \qquad \mbox{ avec } \qquad g(x) = 1 - \ln(x) - x^2
                    \]
            \end{enumerate}
        \item Étude du signe de la fonction $g$
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $g'(x)$, étudier son signe puis en déduire les variations de $g$ sur $R^{+*}$.
                \item Calculer $g(1)$ puis en déduire le tableau de signe de $g$.
            \end{enumerate}
        \item Tracer le tableau de variation de $f$ puis par lecture graphique compléter les limites.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\vfill

\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\printexercise{exercise}{3}
\printexercise{exercise}{4}


\end{document}