\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage{myXsim} \title{Annales d'exercices sur le logarithme} \tribe{Terminale Tsti2d} \date{Janvier 2020} \pagestyle{empty} \geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm} \begin{document} \begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction}] Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur est le mètre (m). Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau. La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité représente un mètre. \begin{minipage}{9cm} $C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par : \[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\] où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la partie A. \begin{description} \item S est le point de $C_f$ d’abscisse 1. \item A est le point de $C_f$ d’abscisse 2. \item B est le point de $C_f$ d’abscisse 5. \item D est le point d’intersection de la droite d’équation $x = 2$ et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B. \end{description} La voile est représentée par le domaine délimité par le segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}[]{5.5cm} \includegraphics[scale=0.3]{./fig/voilure} \end{minipage} \medskip \textbf{Partie A} \medskip La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \medskip \begin{enumerate} \item On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale. Que vaut $f'(1)$ ? \item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$. \item Démontrer que $a=-0,5$ . \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Niveau sonore}] Le niveau sonore $N$ d'un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation \[N = 120 + 4\ln \left(\dfrac{P}{13 \times D^2}\right)\] où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m). \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Les questions 1. et 2. sont indépendantes \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le niveau sonore $N$ d'un bruit entendu à $10$ mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à $2,6$~Watts. On arrondira le résultat à l'unité. \item On donne $N = 84$~dB et $D = 10$~m. Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d'aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à $0,026$~Watts. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'à une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ dû à celle-ci vérifie la relation : \[N = 120 + 4\ln (0,002) - 4\ln \left(D^2\right).\] \item Montrer qu'une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln (D)$. \end{enumerate} \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,1~;~20] par : \[f(x) = 95,14 - 8\ln (x).\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \item Donner le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0,1~;~20]. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,1~;~ 20]. \end{enumerate} \item On suppose qu'un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l'oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu'un risque apparaît. Justifier, à l'aide du tableau ci-dessous, que l'ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels}\\ \hline Aucun &[0~;~85[\\ \hline Risque faible &[85~;~90[\\ \hline Risque élevé &[90~;~120[\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé (c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à $90$~dB). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On s'intéresse au lien entre la puissance $P$ d'un bruit et la distance $D$ de sa source pour différentes valeurs de son niveau sonore $N$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{./fig/graph_sonore} \end{center} \medskip On admet que pour une puissance de $0,02$ Watt, le niveau sonore du bruit est de $74,9$ décibels à une distance de $11$~mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées $(0,02; 11)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{N=74,9}$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour un bruit de puissance $P$ égale à $0,06$ W, déterminer graphiquement à quelles distances minimale et maximale de la source peut se situer une personne pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre $85$ et $90$ dB. \item Pour une source sonore située à une distance $D$ de $8$~m, déterminer graphiquement les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre $74,9$~dB et $79,8$~dB. \end{enumerate} \end{exercise} \end{document}