\documentclass[11pt,xcolor=table]{classPres}

\setlength\columnsep{0pt}

\title{Logarithme, relation fonctionnelle}
\date{Octobre 2019}

\begin{document}

\begin{frame}{Table de Neper}
    \begin{block}{John Napier}
        Mathématicien écossais du seizième siècle (1550 – 1617)
    \end{block}
    \pause
    \begin{block}{Simplifier les calculs}
         Transformer les multiplications en additions
    \end{block}
    \pause
    \includegraphics[scale=2]{./fig/table_neper}
    \hfill
    \includegraphics[scale=0.3]{./fig/Batons_de_Napier}
\end{frame}

\begin{frame}{Transformer $\times$ en $+$}
    \begin{block}{Situations}
        \begin{itemize}
            \item Transformer un suite géométrique en suite arithmétiques
            \item Intensité sonore (décibels et intensité électrique)
            \item Quantité d'information (nombre d'octets et quantité d'information)
            \item Échelle sismique (magnitude et énergie)
        \end{itemize}
    \end{block}
    \pause
    \begin{block}{Relation fonctionnelle}
        On cherche une fonction $f$ telle que 
        \[
            f(a\times b) = f(a) + f(b)
        \]
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{$f(a\times b) = f(a) + f(b)$}
    En utilisant la relation fonctionnelle au dessus, répondre aux questions.
    \begin{enumerate}
        \item En choisissant $a=0$, qu'obtient-on?
        \item En choisissant $a=b=1$, que peut-on dire de $f(1)$?
        \item Exprimer $f(a^n)$ en fonction de $f(a)$.
        \item En choisissant $b=\frac{1}{a}$, que peut-on dire de $f(\frac{1}{a})$?
        \item En choisissant $b=\frac{1}{a}$, que peut-on dire de $f(\frac{1}{a})$?
        \item Combien vaut $f(\frac{a}{b})$?
    \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{Logarithme}
    \begin{block}{Propriété}
        Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation 
        \[
            f(a\times b) = f(a) + f(b)
        \]
        Cette famille s'appelle les fonctions logarithmes.
    \end{block}
    
    \vfill
    \pause
    
    \begin{block}{Définition}
        On appelle \textbf{logarithme népérien} un représentant de cette famille. 

        Le logarithme népérien est définie sur $\R^{+*}$ et est noté $ln$.

        On a donc
        \[
            ln(a\times b) = ln(a) + ln(b)
        \]
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{Logarithme népérien}
    \begin{block}{Propriétés}
        Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
        \begin{eqnarray*}
            ln(1) &=& 0\\
            ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
            ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
            ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
        \end{eqnarray*}
    \end{block}
    \begin{block}{Exemple}
        Résolution d'équation avec des puissances
    \end{block}
    \vfill
\end{frame}
\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: