\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage{myXsim} \title{DS 6} \tribe{Terminale STI2D} \date{13 février 2020} \duree{1 heure} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \xsimsetup{ solution/print = true } \begin{document} \maketitle Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques. \begin{exercise}[subtitle={Éolienne}, points=7] Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct \Ouv{}, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives:\\ $z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}i$ et $z_{\text C} = 3\e^{-i\frac{5\pi}{6}}$. \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{enumerate} \item Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A. \begin{enumerate} \item Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$. \item Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$. \end{enumerate} \item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$. \item On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que: \begin{list}{\textbullet}{} \item A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$ \item B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$ \item C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$ \end{list} Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$; \item Les questions suivantes sont à justifier avec des résultats numériques et non un raisonnement graphique. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $AOB$? \item Calculer l'angle $\widehat{AOB}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{0.4\linewidth} \begin{flushright} \includegraphics[scale=0.25]{./fig/eolienne} \end{flushright} \end{minipage} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=6] \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.\\ Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.} \begin{enumerate} \item On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction$f$ définie sur $\intOO{-\infty}{~1} \cup \intOO{1}{+\infty}$. \begin{minipage}{.5\textwidth} \begin{enumerate} \item $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$ \item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$ \item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$ \item $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$ \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}{.5\textwidth} \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=.8] \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, ymin=-5,ymax=5,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5] \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.25/(x-1)} \tkzVLine[color=red,style=solid,line width=1.2pt]{1} \end{tikzpicture} \end{minipage} \item L'équation $\ln(x-2) = -2$ admet pour solution dans $\R$ \begin{multicols}{4} \begin{enumerate} \item $0$ \item $2 + \e^{-2}$ \item $2.14$ \item $2-\e^{2}$ \end{enumerate} \end{multicols} \item On considère la fonction $f$ définie sur $\intOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = \ln(x)$. La primitive $F$ de $f$ sur $\intOO{0}{+\infty}$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par: \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $F(x) = x\ln(x) - 2x + 5$ \item $F(x) = x\ln(x) + 3$ \item $F(x) = \frac{3}{x}$ \item $F(x) = x\ln(x) - x + 4$ \end{enumerate} \end{multicols} \item On considère le nombre complexe $z = \frac{1}{2} \e^{-i \frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est \begin{enumerate} \item Un nombre réel \item Un nombre complexe de partie réelle nulle \item Un nombre complexe de module 1 \item Une nombre complexe de partie imaginaire positive \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Logo}, points=7] \parbox{0.63\linewidth}{Le logo utilisé par le conservatoire pour la communication est constitué de deux feuilles symétriques l'une de l'autre, dessinées ci-contre. }\hfill \parbox{0.33\linewidth}{\includegraphics[scale=0.2]{./fig/logo}} Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $f(x) = \dfrac{0,2}{x}$ et $g(x) = - x^2 + 0,2x + 1$. On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de ces fonctions tracées dans le repère orthonormé ci- dessous. On admet que ces deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points. \begin{center} \includegraphics[scale=0.25]{./fig/graph_logo} \end{center} La feuille gauche du logo correspond à la partie grisée du plan, délimitée par ces deux courbes. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier par le calcul que $0,2$ est une solution de l'équation $f(x) = g(x)$. \item Déterminer graphiquement la seconde solution de cette équation.\item \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0,2}^1 g(x) \:\text{d}x$. \item Donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $F(x) = \dfrac{1}{5} \ln (x)$ est une primitive sur l'intervalle [0,1~;~1,25] de la fonction $f$. \item Calculer la valeur exacte de $J =\displaystyle\int_{0,2}^1 f(x) \:\text{d}x$. \end{enumerate} \item \textit{Dans cette question, toute trace de recherche (schéma, calculs, explications...) même incomplète sera valorisée} \\ On admet que la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle [0,2~;~1]. L'unité choisie sur chacun des axes est de 2,5 cm. En déduire, au cm$^2$ près, une valeur approchée de l'aire totale du logo. \end{enumerate} \end{exercise} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: