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\title{Loi binomiale}
\date{Mars 2020}

\begin{document}

\setcounter{section}{1}
\section{Loi binomiale}

En classe, on a travaillé sur une série d'exercices où l'on retrouvait des situations similaires: une repétition d'évènements identiques. Ce genre de situattion sera modélisé par une loi binomiale, définie ci-dessous.

\subsection*{Définition}

La \textbf{loi de Bernoulli de paramètre $p$} notée $\mathcal{B}(p)$ est la loi de probabilité qui modélise les situations où il n'y a que 2 issues succès (qui a pour valeur 1) ou échec (qui a pour valeur 0). Le paramètre $p$ correspond à la probabilité d'un succès. Elle est donc définie par le tableau suivant

\begin{center}
    \begin{tabular}{|c|*{2}{C{2cm}|}}
        \hline
        Valeurs & 1 & 0 \\
        \hline
        Probabilité & p & 1-p \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\bigskip

On a vu que pour simuler tout un vol, c'est à dire 53 passagers, il fallait répéter 53 fois la loi de Bernoulli. Les répétitions de loi de Bernoulli s'appellent \textbf{schéma de Bernoulli} et sont modéliser par la \textbf{binomiale}.

\subsection*{Définition}

La \textbf{loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$} notée $\mathcal{B}(n;p)$ est la loi de probabilité qui modélise la répétition indépendantes et identiques de  $n$ situations modélisées par une loi de Bernoulli de paramètre $p$.

\bigskip

Ces situations peuvent être représenté par un arbre de probabilité.

\subsubsection*{Exemple}

Dans une classe de 20 élèves, Sarah ne veut pas être interrogée sur son travail. Le professeur interroge au hasard 3 élèves qu'il choisit de façon indépendantes et identiques.

On note $X$ le nombre de fois que Sarah est interrogée. 

\afaire{Quelle loi suit $X$? Représenter la situation avec un arbre de probabilité}

\subsection*{Propriétés}

Soit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ alors
\begin{itemize}
    \item L'espérance de $X$ peut être calculée de la manière suivante: $E[X] = n\times p$
    \item L'écart-type de $X$ se calcule: $\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$
\end{itemize}

\subsubsection*{Exemple}
On reprend la variable aléatoire de l'exemple précédent: $X\sim \mathcal{B}(3, \frac{1}{2})$. Alors
\begin{itemize}
    \item L'espérance est de $E[X] = $
    \item L'écart type est donné par $\sigma = $
\end{itemize}

\afaire{Faire les calculs}


\end{document}