\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{Espérance}
\tribe{Première technologique}
\date{Avril 2020}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Jeux}]
    Bob joue à un jeu où il estime qu'il a 70\% de chance de gagner une partie. Entre 2 parties, il prend le temps de se reposer pour que la précédente partie n'influence pas la suivante.

    On note $V$ l'évènement "Bob gagne la partie".

    Bob fait 2 parties et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de victoire.
    \begin{enumerate}
        \item Faire un arbre qui modélise la situation.
        \item Déterminer la probabilité que Bob gagne une seule partie.
        \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
        \item Démontrer que l'espérance de $X$ est de 1,4.
        \item Si Bob joue tous les jours deux parties, combien en moyenne peut-il espérer en gagner?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Repas}]
    Bob adore manger des légumes. Chaque jour, il choisit au hasard un fruit dans une panière quotidiennement remplie par ses parents contenant 7 bananes, 5 pommes et 2 kiwi.


    Ses parents veulent essayer de prévoir la consommation en banane de Bob sur 3 jours.

    On note donc $X$ le nombre bananes mangées par Bob sur 3 jours et $B$ l'évènement "Bob mange une banane".
    \begin{enumerate}
        \item Faire un arbre qui modélise la situation.
        \item Déterminer la probabilité que Bob gagne deux bananes.
        \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
        \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Stocks - prise d'initiative}]
    \textit{Cet exercice n'est pas guidé. C'est à vous de définir vos notations et de trouver la démarche pour répondre à la question. Je vous invite à vous inspirer de ce qui a été fait dans les 2 exercices précédents}
    \medskip

    Confinement oblige, Bob ne sort que tous les 2 jours pour faire ses courses. À chaque fois, il refait ses stocks pour avoir 5 tablettes de chocolat et 3 paquets de bonbons.

    Chaque jour, Bob choisit au hasard de manger une tablette de chocolat ou un paquet de bonbons. Il a donc 5 chances sur 8 de choisir une tablette de chocolat.

    Combien en moyenne Bob devra-t-il acheter de tablette de chocolat quand il ira faire ses courses?
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Auto-école}]
    Dans une auto-école, à chaque session 75\% des candidats réussissent à avoir leur code.

    \begin{enumerate}
        \item On interroge au hasard 4 candidats d'une session pour savoir s'ils ont eu leur code. On note $X$ variable aléatoire qui compte le nombre de réponse positive.
            \begin{enumerate}
                \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
                \item Calculer les probabilités suivantes
                    \[
                        P(X = 1) \qquad \qquad
                        P(X = 4) \qquad \qquad
                        P(X \leq 1)
                    \]
                \item Quelle est la probabilité qu'au moins un candidat ait répondu positivement.
                \item En moyenne combien de réponses positives peut-on espérer avoir?
            \end{enumerate}
        \item Cette fois-ci, on choisit un candidat et on note $Y$ le nombre de sessions qu'il a du passer avant d'avoir code.
            \begin{enumerate}
                \item Faire un arbre pour représenter la situtation.
                \item Peut-on modéliser $Y$ avec une loi binomiale? Si oui, préciser les paramètres.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}