\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
%\usepackage{tasks}

\title{DS 3}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{27 novembre 2019}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.

\begin{exercise}[subtitle={Grand jeu}, points=6]
    Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes:

    \begin{itemize}
        \item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 1} : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert ;
        \item[$\bullet~~$]\textbf{Étape 2}:
            \begin{itemize}
                \item s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile ;
                \item sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en $10$ secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.
            \end{itemize}
    \end{itemize}

    Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.

    \medskip

    Un client joue à ce jeu. On note:

    $N$ l'évènement \og Le client découvre un numéro entre 1 et 15\fg{};

    $E$ l'évènement \og Le client obtient une étoile \fg.

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Justifier que $P(N) = 0,3$ et que $P_N(E) = 0,8$.
                \item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
            \end{enumerate}
        \item Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.
        \item Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à $0,31$.
        \item Le client a gagné un bon d'achat. Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro
            entre 1 et 15 à la première étape ?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item 
                    \[
                        P(N) = \frac{15}{50} = 0.3
                    \]
                    \[
                        P_N(E) = \frac{8}{10} = 0.8
                    \]
                \item 
                    \begin{minipage}[h]{0.7\linewidth}
                    \begin{tikzpicture}[sloped]
                        \node {.} 
                        child {node {$N$}
                            child {node {$E$} 
                                edge from parent
                                node[above] {0.8}
                            }
                            child {node {$\overline{E}$}
                                edge from parent
                                node[above] {1-0.8 = 0.2}
                            } 
                            edge from parent
                            node[above] {0.3}
                        }
                        child[missing] {}
                        child { node {$\overline{N}$}
                            child {node {$E$}
                                edge from parent
                                node[above] {0.1}
                            }
                            child {node {$\overline{E}$}
                                edge from parent
                                node[above] {1-0.1=0.9}
                            } 
                            edge from parent
                            node[above] {1-0.3 = 0.7}
                        } ;
                    \end{tikzpicture}
                    \end{minipage}

                \item 
                    \[
                        P(E \cap N) = P(N) \times P_N(E) = 0.3 \times 0.8 = 0.24
                    \]
                \item Un client gagne le bon d'achat quand il arrive sur une étoile.
                    \[
                        P(E) = P(E\cap N) + P(E \cap \overline{N}) = 0.24 + 0.7\times 0.1 = 0.31
                    \]
                \item 
                    \[
                        P_E(N) = \frac{P(E\cap N)}{P(E)} = \frac{0.24}{0.31} = 0.77
                    \]
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Autour de l'exponentiel}, points=5]
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Développer puis réduire
                    \[
                        A = e^{2x} (e^{-x} + 3)
                    \]
                \item Factoriser
                    \[
                        B = (x+1)e^{5x} - 2xe^{5x}
                    \]
                \item Résoudre l'équation
                    \[
                        e^{3x-5} > e^{5x+2}
                    \]
            \end{enumerate}
        \item En 2002, la culture de plantation d'OGM occupait une surface de 59,2 milions d'hectares dans le monde. On peut modéliser la surface dédiée au plantation OGM à l'année $2002+x$ par la fonction 
            \[
                s(x) = 59.2\times 1.15^x
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Quelle est le sens de variation de cette fonction?
                \item Calculer $\dfrac{s(x+1) - s(x)}{s(x)}$ et interpréter le résultat.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item 
                    \begin{eqnarray*}
                        A &=& e^{2x} (e^{-x} + 3) \\
                        A &=& e^{2x-x} + 3\times e^{2x} \\
                        A &=& e^{x} + 3\times e^{2x}
                    \end{eqnarray*}
                \item 
                    \begin{eqnarray*}
                        B &=& (x+1)e^{5x} - 2xe^{5x} \\
                        B &=& (x+1 - 2x)\timese^{5x} \\
                        B &=& (-x+1)\timese^{5x}
                    \end{eqnarray*}
                \item 
                    \begin{eqnarray*}
                        e^{3x-5} &>& e^{5x+2} \\
                        3x-5 &>& 5x+2 \\
                        3x-5x &>& 2+5 \\
                        -2x &>& 7 \\
                        x &<& \frac{7}{-2} = \frac{-7}{2} \\
                    \end{eqnarray*}
            \end{enumerate}
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Comme $1.15 > 1$ alors la fonction $x\mapsto 1.15^x$ est croissante. Comme $59.2 > 0$ alors la fonction $s$ est croissante.
                \item 
                    \begin{eqnarray*}
                        \frac{s(x+1) - s(x)}{s(x)} &=& \frac{59.2\times 1.15^{x+1} - 59.2\times 1.15^{x}}{59.2\times 1.15^{x}} \\
                        &=& \frac{59.2\times 1.15^{x}(1.15 -1)}{59.2\times 1.15^{x}} \\
                        &=& 1.15 -1 \\
                        &=& 0.15 \\
                    \end{eqnarray*}
                    Ainsi le taux d'évolution de la fonction $s$ est constant et égal à 0.15.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    
\end{solution}

\pagebreak

\begin{exercise}[subtitle={Étude graphique}, points=6]
    Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$. On a placé les points A(0~;~2), B(2~;~0) et C$( -2~;~0)$. 

    On dispose des renseignements suivants: 

    \begin{itemize}
        \item[$\bullet~~$] Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
        \item[$\bullet~~$]La droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
        \item[$\bullet~~$]La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale. 
    \end{itemize}
    \setlength\parindent{0mm}

    \begin{center}
        \def\tkzRatioLineGrid{0.75}
        \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1, baseline=(a.north)]
            \tkzInit[xmin=-10,xmax=2,xstep=1,
            ymin=-1,ymax=3,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY%[up space=0.2,right space=0.2]

            \tkzFct[domain=-10:2,color=blue,very thick]%
            {(2-x)*exp(x)}
            \draw (1,2) node {$\mathcal{C}_f$};

            \draw[thick] (-10, 2.71) -- (2, 2.71);
            \draw[thick] (-3, -1) -- (1.5, 3.5);
            \draw[color=black] (0,2) node {$\times$}  node[below right] {A};
            \draw[color=black] (2, 0) node {$\times$}  node[above right] {B};
            \draw[color=black] (-2, 0) node {$\times$}  node[above left] {C};

        \end{tikzpicture}
    \end{center}

    Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 

    \begin{enumerate}
        \item Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
        \item Indiquer la valeur de $f'(1)$. 
        \item Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A. 
        \item  Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$. 
        \item  Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. 
        \item  Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe, et celui sur lequel elle est concave. 
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item $f(0)=2$ (point $A(0\,;\,2)$) et $f(2)=0$ (point $B(2\,;\,0)$).
        \item  Au point d'abscisse la tangente à $\mathcal(C)_f$ est horizontale donc $f'(1)=0$.
        \item La tangente à $\mathcal(C)_f$ est la droite $(AC)$. Son équation est de la forme : $y=m\,x+p$.

            $m=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-2}{-2-0}=1$ et $p=y_A-m\times x_A=2-1\times 0=2$.

            L'équation de la tangente à $\mathcal(C)_f$ au point A a pour équation : $y = x + 2$.
        \item À l'aide du graphique, on peut affirmer que sur l'intervalle $[-10\,;\,2\strut]$ l'équation $f(x)=1$ admet deux solutions distinctes l'une positive, l'autre négative.
        \item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-10\,;\,1\strut]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[1\,;\,2\strut]$.
        \item La tangente à $\mathcal(C)_f$ au point d'abscisse 0 (point $A$) coupe la courbe : le point $A$ est donc un point d'inflexion. La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-10\,;\,0\strut]$ et concave 
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Technique}, points=3]
    \begin{enumerate}
        \item Résoudre dans $\R$ l'inéquation: $2x^2-7x-4 \geq 0$.
        \item On choisit un nombre au hasard dans l'intervalle $\intFF{0}{10}$.
            Calculer la probabilité que ce nombre soit solution de l'inéquation précédente.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item La résolution de l'équation passe par l'étude de signe de la fonction
            \[
                f(x) = 2x^2 - 7x - 4
            \]
            Calcul du discriminant
            \[
                \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\times2\times(-4) = 81 = 9^2
            \]
            $\Delta$ est strictement positif donc la fonction $f$ a deux racines. 

            \[
                x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7-9}{2\times2} = \frac{-1}{2}
            \]
            \[
                x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{7+9}{2\times2} = 4
            \]

            Comme $a = 2 > 0$, $f$ est positive en dehors des racines.
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, $-\frac{1}{2}$, $4$, $+\infty$}
                    \tkzTabLine{, + , z, -, z, +, }
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
            Donc $2x^2-7x-4\geq0$ a pour solution $\intOF{-\infty}{-\frac{1}{2}}\cup \intFO{4}{+\infty}$
        \item On note $X$ la variable aléatoire associée à cette expérience.
            \[
                P(X \mbox{ solution de l'inéquation }) = P(X > 4) = \frac{6}{10} = 0.6
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
