\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\title{Limite de suite géométriques- Bilan}
\date{Décembre 2019}

\begin{document}

\section*{Suites arithméticogéométriques}

\subsection{Définition}

Une suite arithméticogéométrique est une suite qui mélange les caractéristiques d'une suite arithmétique (l'addition) et d'une géométrique (la multiplication). Elle est de la forme
\[
    u_{n+1} = a\times u_n + b \mbox{ avec } a \mbox{ et } b \mbox{ deux réels}
\]

\subsection{Remarques}
\begin{itemize}
    \item Vous avez construit des suites de ce type dans l'exercice sur le renouvellement des médecins.
    \item Aucune connaissance théorique sur les suites arithméticogéométriques n'est exigible en terminal ES-L. Par contre, on les retrouve presque toujours en les exercices du bac. Il a quelques manipulations à connaître.
\end{itemize}

\subsection{Manipulations à connaître}

Soit $(u_n)$ une suite définie par
\[
    \left\{ 
        \begin{array}{l}
            u_{n+1} = 0.9 u_n + 24 \\
            u_0 = \np{60}
        \end{array}
    \right.
\]
On reconnaît une suite arithméticogéométrique.

Pour l'étude de cette suite, on passera par une suite annexe (qui sera toujours donnée).
\[
    v_n = u_n - 240
\]
On va alors chercher à démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique
\begin{eqnarray*}
    \frac{v_{n+1}}{v_n} &=& \frac{u_{n+1} - 240}{u_n-240} \\
    &=& \frac{0.9u_n + 24 - 240}{u_n-240}\\
    &=& \frac{0.9u_n - 216}{u_n-240}\\
    &=& \frac{0.9\left( u_n - 240\right)}{u_n - 240} \\
    &=& 0.9
\end{eqnarray*}
Donc
\[
    v_{n+1} = 0.9v_n
\]
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison q=0.9. Il reste donc à connaître le premier terme $v_0$
\[
    v_0 = u_0 -240 = 60 - 240 = -180
\]
On peut en déduit $v_n$ en fonction de $n$
\[
    v_n = v_0\times q^n = -180\times0.9^n
\]
On en déduit donc $u_n$ (ici je l'explique d'une autre façon que Aurélie mais les deux méthodes sont correctes).
\[
    v_n = u_n - 240
\]
Donc
\[
    u_n = v_n + 240 = -180\times0.9^n + 240
\]



\end{document}