\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Équation différentielle}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Mars 2020}

\begin{document}

\section{Équation différentielle}

\subsection*{Définition}

Une \textbf{équation différentielle} est une relation une variable ($x$, $t$...), une fonction ($f$) et les dérivées de cette fonction ($f'$, $f''$...).

\textbf{Résoudre une équation différentielle} consiste à déterminer toutes les fonctions qui satisfont cette relation.

\subsection*{Exemple}

On souhaite résoudre l'équation différentielle $f'(x) = 3x^2$.

Le cours sur la primitive nous permet résoudre cette équation. Les solutions sont donc
\[
    f(x) = x^3 + c^{te}
\]
Avec $c^{te}$ un nombre réel. 

On peut vérifier que cette fonction est bien solution de cette équation la dérivant:

\afaire{}

\vfill

On remarque que l'on peut associer des valeurs différentes à $c^{te}$. Cela signifie qu'il y a une infinité de solution à cette équation différentielle. Toutes les fonctions tracées dans le graphiques ci-dessous sont des solutions

\begin{center}
    \begin{tikzpicture}[yscale=0.7, xscale=1.4]
        \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
        ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3}
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+1}
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3+2}
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-1}
        \tkzFct[domain = -3:3, line width=1pt]{x**3-4}
    \end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection*{Notation}

Il y a différente façons de noter les dérivées dans les équations différentielles:

\begin{itemize}
    \item Classique: $f'(x) = 3x^2$
    \item Compacte:   $y = 3x^2$

        (c'est cette notation qui sera utilisée dans la suite du cours)
    \item Physicienne:   $\dfrac{df}{dx} = 3x^2$
\end{itemize}

\end{document}