\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Dérivation de l'exponentielle}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Mars 2020}

\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Équation avec des fonctions}]
    Dans cet exercice, vous allez devoir retrouver des fonctions sur lesquelles on a mis des conditions sur la dérivée. Les 3 questions pourront se traiter de la même manière mais nous utiliserons des notations différentes.
    \begin{enumerate}
        \item \textbf{Notations habituelles pour vous} Pour chaque équation retrouver une fonction $f$ qui convient
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $f'(x) = 2x$
                    \item $f'(x) = 5x + 1$
                    \item $f'(x) = 2x^2$ et $f(0) = 1$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item \textbf{Nouvelles notations de math} Pour chaque équation retrouver une fonction $y$ qui convient
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $y'(x) = 3x^2 + 2x -10$
                    \item $y'(x) = \cos(x)$
                    \item $y'(x) = \dfrac{1}{x^2}$ et $y(10) = 1$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item \textbf{Notation physicienne} Pour chaque équation retrouver une fonction $x$ qui convient
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $\dfrac{df}{dt} = 3t + 2$
                    \item $\dfrac{df}{dt} = \sin(t)$
                    \item $\dfrac{df}{dt} = e^t$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Accélération constante}]
    Dans cet exercice, nous allons étudier une situation physique où un objet est en chute libre (et donc en accélération constante) sans frottements. On notera $x(t)$ la fonction position en fonction du temps (en secondes), $v(t)$ la fonction vitesse et $a(t)$ la fonction accélération.

    Par hypothèse sur la situation physique, on a 
    \[
        a(t) = -9.81
    \]

    On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position et que l'accélération est la dérivée de la vitesse. Cet qui se traduit par les égalités suivantes
    \[
        x'(t) = v(t) \qquad \qquad v'(t) = a(t)
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la vitesse est donnée par $v(t) = -9.81t + a$ avec $a$ une constante.
        \item On a mesuré que la vitesse au bout de 10s est de $2m.s^{-1}$. Déterminer la valeur de $a$.
        \item Démontrer que la position est alors donnée par $x(t) = -4,905t^2 + 100,1t + b$ avec $b$ une constante.
        \item L'objet est lâché au temps 0s à \np{1000}m d'altitude. Déterminer la valeur de $b$.
        \item Déterminer le moment où l'objet touchera le sol c'est à dire atteindre l'altitude 0m.
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}