\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Équations différentielles linéaire d'ordre 1}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Avril 2020}

\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Technique}]
    \begin{enumerate}
        \item Résoudre les équations différentielles suivantes.
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $y' = 2y$
                    \item $y' = -5y$
                    \item $2y' = y$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Résoudre les équations différentielles et fixer la constante.
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $y' = 2y$ et $y(0) = 5$
                    \item $y' = -0,1y$ et $y(1) = 5$
                    \item $y'+ 2y = 0$ et $y(0) = -1$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Décharge d'un condensateur}]
    On connecte en série, un condensateur $C$ chargé à une tension $u_0 = 10V$ à un résistance $R$. On s'intéresse à l'évolution de la tension en fonction du temps aux bornes du condensateur notée $u(t)$.

    La modélisation physique mène à l'équation différentielle suivante
    \[
        RC\times u'(t) = -u(t)
    \]
    Le condensateur a une capacité de $C = 15\times 10^{-5}$ farads. La résistance a pour valeur $R = 2\times10^{-2}\Omega$.

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Résoudre l'équation différentielle.
                \item Déterminer la solution, $u(t)$, qui vérifie les conditions initiales $u(0) = 10V$.
            \end{enumerate}
        \item Tracer l'allure de $u(t)$ et conjecturer la limite.
        \item Déterminer $t_1$ tel que 
            \[
                u(t) \leq 0.5u(0)
            \]
        \item Déterminer le temps $t_2$ qu'à mis le condensateur à se décharger à 10\% de la tension initiale.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={ Moisissures }]
    Les moisissures ont un mode de reproduction qui fait que l'augmentation de la population est proportionnelle à la population (autrement dit, plus il y a de moisissures plus sa population augmente vite).

    On note $P$ la fonction qui modélise la taille de la population (en gramme) et $\dfrac{dP}{dt}$ la vitesse d'augmentation de la population. Ces 2 grandeurs sont promotionnelles, donc il existe $\alpha$ tel que
    \[
        \frac{dP}{dt} = \alpha P(t)
    \]
    où $t$ est en heure.

    Une étude en laboratoire a débuté avec 2,4g de moisissure et a mesuré au bout de 20h 24g.
    \begin{enumerate}
        \item Comment se notent ces quantités avec les notations de l'exercice?
        \item Résoudre l'équation différentielle.
        \item Déterminer $\alpha$ puis la constante de la solution de l'équation à partir des données de l'étude.
        \item En combien de temps, la population de moisissure aura dépassé 1kg?
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}