\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Complexes, module et argument}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Janvier 2020}

\pagestyle{empty}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}

\begin{document}

\section{Module et argument d'un nombre complexe}

Un nombre complexe peut se décrire de façon \textbf{algébrique}. Dans ce cas, il a la forme suivante
\[
    z = a + ib
\]
où $a$ est sa partie \textbf{réelle} qui décrit sa position horizontalement et $b$ est sa partie \textbf{imaginaire} qui décrit sa position verticalement.

Mais on peut les décrire d'une autre façon.

\subsection*{Définition}

\begin{minipage}{0.6\textwidth}
Un nombre complexe peut être décrit de façon \textbf{trigonométrique}, il a la forme suivante:
\[
    z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))
\]
où 
\begin{itemize}
    \item $r$ est \textbf{le module} du nombre, c'est sa distance avec l'origine
    \item $\theta$ est \textbf{l'argument} du nombre, c'est l'angle orienté qu'il fait avec l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[yscale=.8, xscale=.8]
        \repereNoGrid{-1}{5}{-1}{5}
        \draw (0,0) -- (3,3) node [above, midway, sloped] {$r$} node [above right] {$M(a+ib)$};
        \draw [->] (2,0) arc (0:45:2) node [midway, right] {$\theta$};
        \draw [dashed] (3,0) node [below] {$a$} -- (3,3);
        \draw [dashed] (0,3) node [left] {$b$} -- (3,3);


    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsection*{Trigonométrique vers algébrique}

On a un nombre complexe sous forme trigonométrique $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$. Sa forme algébrique est alors
\[
    a = r\cos(\theta) \mbox{ et } b = r\sin(\theta)
\]

\paragraph{Exemple:} Forme algébrique de $z = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))$

\afaire{à convertir}



\subsection*{Algébrique vers trigonométrique}

On a un nombre complexe sous forme algébrique $z = a + ib$. On peut calculer son module et son argument ainsi
\[
    r = \sqrt{a^2+b^2} \qquad \mbox{ et } \theta \mbox{ se détermine avec } \qquad \cos(\theta) = \frac{a}{r} \qquad \sin(\theta) = \frac{b}{r}
\]

\paragraph{Exemple:} Retrouver le module et l'argument de $z = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$

\afaire{à convertir}

\end{document}