\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Équation avec l'exponentielle}
\tribe{Terminale ES}
\date{Mars 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Équations et exponentielle}]
    Résoudre les équations et inéquation suivantes
    \begin{multicols}{3}
       \begin{enumerate}
           \item $e^{3x} = e^{2x-1}$
           \item $e^{x^2} = e^{4x + 1}$
           \item $1 = e^{x^2 + 2x + 4}$
           \item $e^{3x} \geq e^{-2x-4}$
           \item $e^{x^2 - 2} > 1 $
           \item $e^{x^2 + 2x + 4} < 0$
       \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Y a-t-il toujours des solutions?}]
    On souhaite résoudre les équations du type
    \[
        e^x = a
    \]
    En vous aidant de la représentation graphique de la fonction exponentielle, conjecturer des réponses aux deux premières questions. 
    \begin{enumerate}
        \item À quelles conditions sur $a$, cette équation a-t-elle une solution?
        \item Est-il possible que cette équation ait 2 solutions ou plus?
        \item (*) Soit $a \in \intOO{0}{+\infty} = \R^{+*}$ démontrer que l'équation une unique solution sur $\R$ que l'on nommera $b$.
    \end{enumerate}
    La dernière question de l'exercice démontre pour tout $a\in \intOO{0}{+\infty}$ il existe un unique $b \in \R$ tel que $e^{b} = a$. On peut alors définition la fonction qui à $a$ associe $b$, c'est le logiciel népérien: $\ln(a) = b$.
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{3}
    \item (*) Démontrer que pour tout $x \in \R^{+*}$ on a $e^{\ln(x)} = x$.
    \item (*) En déduire que pour tout $x \in \R^{+*}$ on a $\ln(e^x) = x$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Retour aux équations}]
    Résoudre les équations et inéquation suivantes
    \begin{multicols}{4}
       \begin{enumerate}
           \item $e^{x} = 5$
           \item $e^{x} = 1$
           \item $e^{x} = -10$
           \item $e^{2x} = 3$

           \item $e^{-3x} = 10$
           \item $e^{5x+1} = 10$
           \item $2e^{x} = 6$
           \item $-3e^{x} = -9$

           \item $4e^{x} + 1 = 6$
           \item $-5e^{-x} + 1 = -1$
           \item $4e^{x^2} - 3 = 6$
           \item $-4e^{x+1} - 3 = 1$
       \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\vfill

\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\printexercise{exercise}{3}

\end{document}