\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
%#- set pointfix = (r*100/pp).decimal
%#- set r = Decimal.random(min_value=0.1, max_value=0.9, digits=1)
%- set pp = Decimal.random(min_value=1, max_value=9, digits=0)
%- set pointfix = Decimal.random(min_value=1, max_value=10, digits=1)
%- set r = pointfix*pp*Decimal("0.01")
%- set q = 1 - pp*Decimal("0.01")
%- set u0 = Integer.random(min_value=50, max_value=70)*10
%- set v0 = u0 + pointfix
    La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système  fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.

    On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $\Var{r}$ gramme de gaz chaque jour.

    Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $\Var{u0}$ grammes.

    \subsection*{Partie A}

    Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse  de gaz est inférieure à $440$ grammes.

    Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à  l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

    \subsection*{Partie B}

    Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à  l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule  présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la  perte naturelle de $\Var{r}$ gramme, le système perd $\Var{pp}\,\%$  de sa masse chaque jour.

    Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.

    Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le  réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.

    On a donc, $u_0 = \Var{u0}$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
    on a :
    \[
        u_{n+1} = \Var{q} u_n - \Var{r}.
    \]

    \begin{enumerate}
        \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
        \item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
            nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
            dans le système.

            \begin{center}
                \begin{tabular}{| l |}
                    \hline
                    \textbf{Variables}        \\
                    \hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm}  \\
                    \hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre  réel\\
                    \textbf{Entrée}         \\
                    \hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
                    \textbf{Initialisation}\\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
                    \textbf{Traitement} \\
                    \hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
                    \hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm}  $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm}  \\
                    \hspace*{0.5cm} Fin pour\\
                    \textbf{Sortie} \\
                    \hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}

            \begin{enumerate}

                \item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de      cet algorithme.
                \item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
                    Arrondir au gramme près.
            \end{enumerate}

        \item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier    naturel par $v_n = u_n + \Var{pointfix}$.

            \begin{enumerate}
                \item Calculer $v_0$.
                \item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison  $\Var{q}$.

                    Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
                \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :   $u_n = \Var{v0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix}$.
                \item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à  la \textbf{question 2.b.}

            \end{enumerate}
        \item Résoudre $\Var{u0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} < 440$ puis interpréter le résultat.
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
    \subsection*{Partie A}
        \begin{itemize}
            \item Quantité à perdre avant recharge
                \[
                    \Var{u0} - 440 = \Var{u0-440}
                \]
            \item À raison d'une perte de \Var{r} par jour. Il faudra recharger dans
                \[
                    \frac{\Var{u0-440}}{\Var{r}} = \Var{((u0-440)/r).decimal._mo.value | round(0)} \mbox{ jours}
                \]
        \end{itemize}        
    \subsection*{Partie B}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{eqnarray*}
                u_0 &=& \Var{u0}\\
                %- set u1 = q*u0-r
                u_1 &=& \Var{q}\times u_0 - \Var{r} = \Var{u1}\\
                %- set u2 = q*u1-r
                u_2 &=& \Var{q}\times u_1 - \Var{r} = \Var{u2}
            \end{eqnarray*}
        \item 
            \begin{center}
                \begin{tabular}{| l |}
                    \hline
                    \textbf{Variables}        \\
                    \hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm}  \\
                    \hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre  réel\\
                    \textbf{Entrée}         \\
                    \hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
                    \textbf{Initialisation}\\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
                    \textbf{Traitement} \\
                    \hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
                    \hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm}  $u$ prend la valeur $\Var{q}*u-\Var{r}$ \\
                    \hspace*{0.5cm} Fin pour\\
                    \textbf{Sortie} \\
                    \hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$

        \item 
            \begin{enumerate}
                \item $v_0 = u_0 + \Var{pointfix} = \Var{u0} + \Var{pointfix} = \Var{v0}$
                \item $v_n = \Var{v0}\times \Var{q}^n$
                \item Comme $v_n = u_n + \Var{pointfix}$ alors $u_n = v_n - \Var{pointfix}$ et donc
                    \[
                        u_n = \Var{v0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix}
                    \]
                \item $u_{20} =\Var{v0} \times \Var{q}^{20} - \Var{pointfix}= \Var{(v0*q**20 - pointfix)._mo.value | round(0)}$
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{eqnarray*}
                \Var{u0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} &<& 440 \\
                \Var{u0} \times \Var{q}^n  &<& 440+\Var{pointfix} \\
                \Var{q}^n  &<& \frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}} \\
                ln(\Var{q}^n)  &<& ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right) \\
                n\times ln(\Var{q})  &<& ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right) \\
                n  &>& \frac{ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right)}{ln\Var{q}} \\
            \end{eqnarray*}
            Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(\Var{q})$ est négatif.

            Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
    \end{enumerate}
\end{solution}

