\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Probabilité conditionnelle - Annales}
\tribe{Terminale ES}
\date{Novembre 2019}

\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}

\pagestyle{empty}
\setlength{\columnseprule}{0pt}


\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Aéroport}]
    Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

    On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

    \begin{itemize}
    \item $S$ l'événement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
    \item $M$ l'événement \og le voyageur porte un objet métallique \fg{}.
    \end{itemize}

    On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique. Et on note que

    \begin{itemize}
    \item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
    \item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
    \end{itemize}

    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        \begin{enumerate}
            \item  À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
            \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre illustrant cette situation.
            \item Montrer que: $P(S)=\np{0,02192}$.
            \item En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$.)
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[sloped]
            \node {.} 
            child {node {$M$}
                child {node {$S$} 
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                }
                child {node {$\overline{S}$}
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                } 
                edge from parent
                node[above] {...}
            }
            child[missing] {}
            child { node {$\overline{M}$}
                child {node {$S$}
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                }
                child {node {$\overline{S}$}
                    edge from parent
                    node[above] {...}
                } 
                edge from parent
                node[above] {...}
            } ;
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}


\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Sponsort}]
        Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de
        traversée de l'Atlantique à la voile.

        \emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}

        Une entreprise nommée \og Régate \fg, s'intéresse aux résultats de ce navigateur.

        La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.

        Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.

        Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.

        On note $M$ l'évènement \og la traversée est réalisée par le navigateur en moins de 6 jours \fg et $F$ l'évènement \og l'entreprise sponsorise le navigateur \fg.

        \begin{enumerate}
            \item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
            \item  Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la
                prochaine course est $0,428$.
            \item  L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.

                Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins
                de $6$ jours.
        \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Paiements}]
        Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent
        régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de
        la transaction est inférieur ou égal à 30~\euro) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant
        de la transaction).

        Il remarque que 80\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro. Parmi eux :
        \begin{itemize}
            \item 40\,\% paient en espèces;
            \item 40\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
            \item les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
        \end{itemize}
        Et que 20\,\% de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30~\euro. Parmi eux :
        \begin{itemize}
            \item 70\,\% paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
            \item les autres paient en espèces.
        \end{itemize}
        On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.

        On considère les évènements suivants :

        $V$ : \og le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30~\euro \fg ;

        $E$ : \og le client a réglé en espèces\fg ;

        $C$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret\fg ;

        $S$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact \fg.

        \medskip

        \begin{enumerate}
            \item 
                \begin{enumerate}
                    \item Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant
                        $V$ notée $P_V(S)$.
                    \item Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
                \end{enumerate}
            \item
                \begin{enumerate}
                    \item Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$~\euro{} et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
                    \item Montrer que la probabilité de l'évènement: \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte
                        bancaire en utilisant l'un des deux modes\fg{} est égale à $0,62$.
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}