\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\title{DS 5}
\tribe{Terminale L-ES}
\date{22 janvier 2020}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{exercise}[subtitle={Tirelire}, points=9]
    Maya possède 20~\euro{} dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2018.

    À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place $20$~\euro{} supplémentaires.

    Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n$-ième mois. On a $u_0 = 20$. 


    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1\ier{} mois est de $35$~\euro.
                \item Calculer $u_2$.
            \end{enumerate}

        \item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n + 20$.

            On considère l'algorithme suivant:

            \begin{center}
                \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
                    \hline
                    $U \longleftarrow 20$\\
                    $N \longleftarrow 0$\\
                    Tant que $U < 70$\\
                    \hspace*{1cm} $U \longleftarrow 0,75 \times U + 20$\\
                    \hspace*{1cm} $N \longleftarrow N+1$\\
                    Fin Tant que\\
                    Afficher $N$\\
                    \hline
                \end{tabularx}
            \end{center}

            \begin{enumerate}
                \begin{minipage}{0.65\textwidth}
                \item Recopier et compléter le tableau ci-contre qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la suite de ce tableau. Arrondir les résultats au centième.
                \end{minipage}
                \hfill
                \begin{minipage}{0.2\textwidth}
                    \begin{tabular}{|c|c|c|}
                        \hline
                        $U$ & $N$ & $U<70$ \\
                        \hline
                        20 & 0 & Vrai \\
                        \hline
                        $\ldots$ & $\ldots$ & $\ldots$ \\
                    \end{tabular}
                \end{minipage}

            \item Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme?

                Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

        \end{enumerate}

        \item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
        \begin{enumerate}
            \item  Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
            \item Préciser son premier terme $v_0$.
            \item En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n=80-60\times 0,75^{n}$.
            \item Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2019.
            \item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
            \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                %\item Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1\ier{} mois est de 35~\euro.
                \item Elle dépense le quart des 20 euros de départ, donc il lui reste les trois quarts de la somme, soit 15 euros. Puis elle ajoute 20 euros. Donc elle aura 35 euros le mois suivant. Donc 

                    $u_1 = 35$.
                \item $u_2=0,75\times 35+20 = 46,25$.
            \end{enumerate}

        \item 

            \begin{enumerate}
                \item On complète le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme en arrondissant les résultats au centième:

                    \begin{center}

                        %\end{center}
                        \begin{tabular}{|m{3cm}|*{8}{c|}}\hline 
                            Valeur de $U$ & 20 & 35 & 46,25 & 54,69 & 61,02 &67,76 & 69,32 & 71,99\\ \hline 
                            Valeur de $N$ & 0 & 1 & 2 & 3& 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline 
                            Condition $U<70$ & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & vrai & faux \\\hline
                        \end{tabular} 
                    \end{center}

                \item Cet algorithme affiche la valeur $N=7$; donc au bout du 7\up{e} mois la somme disponible sera supérieure à 70 euros.

            \end{enumerate}

        \item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
            \begin{enumerate}
                \item  Pour tout entier $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-80=0,75 \times u_{n}+20-80=0,75 \times u_{n}-60=0,75 \left(u_{n}-\dfrac{60}{0,75}\right)= 0,75\times \left(u_{n}-80\right) = 0,75 \times v_{n}$.

                    Donc la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.
                \item $v_0 = u_0-80=20-80= - 60$.
                \item Pour tout entier $n$, $v_n=v_0\times q^n=-60\times 0,75^n$.

                    De plus $u_n=v_n+80=-60\times 0,75^n+80=80-60\times 0,75^{n}$.
                \item Pour trouver le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2019, on cherche la somme disponible fin mai 2019, ce qui correspond à $n=12$ : $u_{12} = 80 - 60\times 0,75^{12} \approx 78,10$.

                    Maya aura dans sa tirelire le 1\up{er} juin 2019 78,10~\euro. 
                \item La raison de la suite géométrique $(v_n)$ est strictement comprise entre $-1$ et 1, donc sa limite quand $n$ tend vers l'infini est égale à 0.
                \item Donc la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à 80 ; cela signifie que le contenu de la tirelire va avoir tendance à se stabiliser vers 80~\euro{} au bout d'un certain temps.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Satisfaction}, points=11]
    On appelle fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction  \og \emph{satisfaction} \fg{} atteint la valeur $100$, on dit qu'il y a \og \emph{saturation} \fg{}.

    On définit aussi la fonction \og \emph{envie} \fg{} comme la fonction dérivée de la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{}. On dira qu'il y a \og \emph{souhait} \fg{} lorsque la fonction \og \emph{envie} \fg{} est positive ou nulle et qu'il y a \og \emph{rejet} \fg{}  lorsque la fonction \og \emph{envie} \fg{} est strictement négative.

    \medskip

    \textbf{Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction \og \emph{\textbf{satisfaction}} \fg{} différent. \\[5pt]Les parties A, B et C sont indépendantes.}

    \pagebreak

    \textbf{Partie A}

    \noindent
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $f$ dont la courbe représentative est donnée ci-contre ($x$ est exprimé en heures).

        \bigskip

        \textbf{Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.}

        \begin{enumerate}
            \item Lire la durée de travail quotidien menant à \og \emph{saturation} \fg{}.
            \item Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a \og \emph{rejet} \fg{}.
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
        \includegraphics[scale=0.3]{./fig/graph_PA}
    \end{minipage}

    \vfill
    \textbf{Partie B}

    Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $g$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,30]$ par
    $g(x)=12,5 x e^{-0,125x+1}$ ($x$ est exprimé en jour).

    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle   $[0\,;\,30]$,

            \[g'(x)=(12,5-\np{1,5625} x) e^{-0,125x+1}.\]

        \item Étudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle  $[0\,;\,30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.
        \item Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet \og \emph{saturation} \fg{}?  
        \item Démontrer que l'équation $g(x) = 50$ admet 2 solutions sur $\intFF{0}{30}$.
    \end{enumerate} 

    \vfill
    \textbf{Partie C}

    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $h$, est définie sur l'intervalle $[10\,;\,50]$ par

        \[h(x)=\dfrac{90}{1+e^{-0,25 x +6}}\] 

        ($x$ est exprimé en millier d'euros).

        \bigskip

        La courbe $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ est représentée ci-contre.

    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.45\textwidth}
        \includegraphics[scale=0.25]{./fig/graph_PC}
    \end{minipage}

    Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:

    \begin{center}
        \renewcommand{\arraystretch}{1}
        \begin{tabular}{|l|l|}\hline
            1 & \verb!Dériver(90/(1 + exp(-0.25 * x +6)))!\\
              & \hfill{}$\dfrac{22,5 e^{-0,25x+6}}{(1+e^{-0,25x+6})^2}$\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\hfill{~}\\\hline
              2   & \verb!Dériver(22.5 * exp(-0,25 x + 6)/(1 + exp(-0,25 * x + 6))^2! \\
                  & \hfill{}$\dfrac{5,625 e^{-0,25x+6} (e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+e^{-0,25x+6})^3}$\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\hfill{~}\\\hline
              \end{tabular}
    \end{center}

    \begin{enumerate}
        \item Donner sans justification une expression de $h''(x)$.
        \item Expliquer que $h''(x)$ est du même signe que $e^{-0.25x+6} - 1$.
        \item Démontrer que dans l'intervalle $[10\,;\,50]$ l'inéquation $e^{-0,25x + 6} - 1 > 0$ a pour solution $x < 24$.
        \item Étudier la convexité de la fonction $h$ sur l'intervalle $[10\,;\,50]$.
        \item À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction \og \emph{envie} \fg{} décroît? Justifier.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \textbf{Partie A}
    \begin{enumerate}
        \item Il y a \og \emph{saturation} \fg{} au bout de 3 heures de travail.
             
        \item Il y a \og \emph{rejet} \fg{} quand la fonction est décroissante, donc après 3 heures de travail.
    \end{enumerate}

    \textbf{Partie B}
    \begin{enumerate}
        \item Pour tout $x$ de l'intervalle   $[0\,;\,30]$:

            $g'(x)= 12,5 \times e^{-0,125x+1} + 12,5 x \times (-0,125)  e^{-0,125x+1}
            = (12,5 -\np{1,5625}x) e^{-0,125x+1}$.

        \item% \'Etudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle  $[0\,;\,30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.
            Pour tout $x$, $e^{-0,125x+1}>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $12,5 -\np{1,5625}x$.

            $12,5 -\np{1,5625}x >0 \iff 12,5 > \np{1,5625}x \iff \dfrac{12,5}{\np{1,5625}} >x \iff x<8$

            $g(0)=0$, $g(8)= 100$ et $g(30) \approx 24$

            On établit le tableau des variations de la fonction $g$ sur $[0\,;\,30]$:

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=4]{$x$/1,$g'(x)$/1, $g(x)$/2}{$0$, $8$, $30$}
                    \tkzTabLine{, $+$, z , $-$,}
                    \tkzTabVar{-/ $0$, +/ $100$, -/ $f(30)\approx 24$ }
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

        \item %Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet \og \emph{saturation} \fg{}?  
            D'après le tableau de variations, l'effet \og \emph{saturation} \fg{} apparaît au bout d'un séjour de 8 jours.
        \item On va appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur les intervalles $\intFF{0}{8}$ et $\intFF{8}{30}$.

            \begin{itemize}
                \item $g(0) = 0$ et $g(8) = 100$
                \item $g$ est une fonction continue et strictement croissante sur $\intFF{0}{8}$
                \item $50 \in \intFF{0}{100}$
            \end{itemize}
            Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 50$ a une unique solution sur $\intFF{0}{8}$.

            On peut faire la même chose sur l'intervalle $\intFF{8}{30}$ démontrer qu'il y a une unique solution sur cet intervalle.

            L'équation a donc 2 solutions sur $\intFF{0}{30}$
    \end{enumerate} 

    \textbf{Partie C}
    \begin{enumerate}
        \item %Donner sans justification une expression de $h''(x)$.
            D'après le logiciel de calcul formel, $h''(x)= \dfrac{5,625 e^{-0,25x+6} (e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+e^{-0,25x+6})^3}$.

        \item Pour tout $x$, $e^{x}>0$ donc, pour tout $x$, $e^{-0,25x+6}>0$; \\
            on en déduit que $\left(1+e^{-0,25x+6}\right)^3 > 0$ et que $5,625 e^{-0,25x+6} > 0$, \\
            et donc que $h''(x)$ est du signe de $e^{-0,25x+6}-1$.

        \item On résout dans l'intervalle $[10\,;\,50]$ l'inéquation $e^{- 0,25x+6}-1>0$:

            \medskip

            \[
                \begin{array}{l !{\iff} l !{\iff} l}
                    e^{-0,25x+6}-1>0 & e^{-0,25x+6} > 1 &-0,25x+6 >0 \\
                                      & 6>0,25x & \dfrac{6}{0,25} > x\\[7pt]
                                   & \multicolumn{2}{l}{24>x}\\
                               \end{array}
                                  \]


            \medskip

            Sur l'intervalle $[10\,;\,50]$, l'inéquation $e^{-0,25x+6}-1>0$ a pour solution l'intervalle $[10\,;\, 24[$.

        \item La fonction $h$ est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée est croissante, c'est-à-dire quand sa dérivée seconde est positive.

            $h''(x)= \dfrac{5,625 e^{-0,25x+6} (e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+e^{-0,25x+6})^3}$

            \smallskip


            \begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente, on peut dire que:}
            \item $h''(x)>0$ sur $[10\,;\,24[$ donc la fonction $h$ est convexe sur $[10\,;\,24[$;
            \item $h''(x)<0$ sur $]24\,;\,50]$ donc la fonction $h$ est concave sur $]24\,;\,50]$.
            \end{list}

        \item% À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction \og \emph{envie} \fg{} décroît? Justifier.
            La fonction \og \emph{envie} \fg{} décroit quand $h'$ décroit donc quand $h''$ devient négative, soit à partir de $x=24$, ce qui correspond à un salaire annuel de $\np{24000}$ euros. 

    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}
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