\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{tasks}
\usepackage{myXsim}

\title{DM 2 -- BELSKII Bogdan}
\tribe{Terminale STI2D}
\date{20 novembre 2019}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.

\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
    \begin{minipage}{0.6\textwidth}
        On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $20m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges. 

        On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.3\textwidth}
        \begin{tikzpicture}
            \pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
            \pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
            \pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
            \draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

    \begin{enumerate}
        \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
        \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
        \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
            \[
                S(x) = 8x + 10 + \frac{40}{x}
            \]
        \item Démontrer que
            \[
                S(x) = \frac{8x^2 + 10x + 40}{x}
            \]
        \item Démontrer que 
            \[
                S'(x) = \frac{- 40 + 8x^2}{x^2}
            \]
        \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
        \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
            \begin{itemize}
                \item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $\frac{5}{2}$
                \item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $\frac{5}{3}$
            \end{itemize}
        \item Pour calculer le volume, on a
            \begin{eqnarray*}
                V &=& h\times x \times 4 \\
                20 &=& h\times x \times 4 \\
                x &=& \frac{20}{h\times 4} = \frac{5}{h}
            \end{eqnarray*}
        \item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
            \begin{eqnarray*}
                S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
                S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{5}{x}\times 4\times 2\\
                S(x) &=& 8x + 10 + \frac{40}{x}
            \end{eqnarray*}
        \item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
            \begin{eqnarray*}
                S(x) &=& 8x + 10 + \frac{40}{x}\\
                S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{40}{x}\\
                S(x) &=& \frac{8x^2 + 10x + 40}{x}
            \end{eqnarray*}
        \item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
            \[
                u(x) = 8x^2 + 10x + 40 \Rightarrow u'(x) = 10 + 16x
            \]
            \[
                v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
            \]
            Donc au numérateur on obtient
            \begin{eqnarray*}
                u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (10 + 16x)\times x - (8x^2 + 10x + 40)\times 1\\
                                                    &=& - 40 + 8x^2
            \end{eqnarray*}
            Donc
            \[
                S'(x) = \frac{- 40 + 8x^2}{x^2}
            \]
        \item Tableau de variations de $S$

            \begin{itemize}
                \item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
                \item Signe de $- 40 + 8x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
                    \[
                        \Delta = 1280 > 0
                    \]
                    Il y a donc 2 racines
                    \[
                        x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
                        x_2 = 2.23606797749979
                    \]
                    Et on sait que $- 40 + 8x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
                \item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
                \item Tableau de variations

                    \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                        \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 40 + 8x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
                        \tkzTabLine{d,+, , +, }
                        \tkzTabLine{d,-, z, +, }
                        \tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
                    \end{tikzpicture}

            \end{itemize}
        \item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
    \end{enumerate}
\end{solution}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
    La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système  fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.

    On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.114$ gramme de gaz chaque jour.

    Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $520$ grammes.

    \subsection*{Partie A}

    Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse  de gaz est inférieure à $440$ grammes.

    Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à  l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

    \subsection*{Partie B}

    Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à  l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule  présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la  perte naturelle de $0.114$ gramme, le système perd $2\,\%$  de sa masse chaque jour.

    Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.

    Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le  réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.

    On a donc, $u_0 = 520$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
    on a :
    \[
        u_{n+1} = 0.98 u_n - 0.114.
    \]

    \begin{enumerate}
        \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
        \item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
            nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
            dans le système.

            \begin{center}
                \begin{tabular}{| l |}
                    \hline
                    \textbf{Variables}        \\
                    \hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm}  \\
                    \hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre  réel\\
                    \textbf{Entrée}         \\
                    \hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
                    \textbf{Initialisation}\\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
                    \textbf{Traitement} \\
                    \hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
                    \hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm}  $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm}  \\
                    \hspace*{0.5cm} Fin pour\\
                    \textbf{Sortie} \\
                    \hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}

            \begin{enumerate}

                \item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de      cet algorithme.
                \item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
                    Arrondir au gramme près.
            \end{enumerate}

        \item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier    naturel par $v_n = u_n + 5.7$.

            \begin{enumerate}
                \item Calculer $v_0$.
                \item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison  $0.98$.

                    Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
                \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :   $u_n = 525.7 \times 0.98^n - 5.7$.
                \item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à  la \textbf{question 2.b.}

            \end{enumerate}
        \item Résoudre $520 \times 0.98^n - 5.7 < 440$ puis interpréter le résultat.
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
    \subsection*{Partie A}
        \begin{itemize}
            \item Quantité à perdre avant recharge
                \[
                    520 - 440 = 80
                \]
            \item À raison d'une perte de 0.114 par jour. Il faudra recharger dans
                \[
                    \frac{80}{0.114} = 702 \mbox{ jours}
                \]
        \end{itemize}        
    \subsection*{Partie B}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{eqnarray*}
                u_0 &=& 520\\
                u_1 &=& 0.98\times u_0 - 0.114 = 509.486\\
                u_2 &=& 0.98\times u_1 - 0.114 = 499.18228
            \end{eqnarray*}
        \item 
            \begin{center}
                \begin{tabular}{| l |}
                    \hline
                    \textbf{Variables}        \\
                    \hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm}  \\
                    \hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre  réel\\
                    \textbf{Entrée}         \\
                    \hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
                    \textbf{Initialisation}\\
                    \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
                    \textbf{Traitement} \\
                    \hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
                    \hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm}  $u$ prend la valeur $0.98*u-0.114$ \\
                    \hspace*{0.5cm} Fin pour\\
                    \textbf{Sortie} \\
                    \hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$

        \item 
            \begin{enumerate}
                \item $v_0 = u_0 + 5.7 = 520 + 5.7 = 525.7$
                \item $v_n = 525.7\times 0.98^n$
                \item Comme $v_n = u_n + 5.7$ alors $u_n = v_n - 5.7$ et donc
                    \[
                        u_n = 525.7 \times 0.98^n - 5.7
                    \]
                \item $u_{20} =525.7 \times 0.98^{20} - 5.7= 345$
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{eqnarray*}
                520 \times 0.98^n - 5.7 &<& 440 \\
                520 \times 0.98^n  &<& 440+5.7 \\
                0.98^n  &<& \frac{440+5.7}{520} \\
                ln(0.98^n)  &<& ln\left(\frac{440+5.7}{520}\right) \\
                n\times ln(0.98)  &<& ln\left(\frac{440+5.7}{520}\right) \\
                n  &>& \frac{ln\left(\frac{440+5.7}{520}\right)}{ln0.98} \\
            \end{eqnarray*}
            Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.98)$ est négatif.

            Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
    \end{enumerate}
\end{solution}


\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: