\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
\title{DM 2 -- PROST Maxime}
\tribe{Terminale STI2D}
\date{20 novembre 2019}
\xsimsetup{
solution/print = false
}
\begin{document}
\maketitle
Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $14m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
\[
S(x) = 4x + 14 + \frac{28}{x}
\]
\item Démontrer que
\[
S(x) = \frac{4x^2 + 14x + 28}{x}
\]
\item Démontrer que
\[
S'(x) = \frac{- 28 + 4x^2}{x^2}
\]
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
\begin{itemize}
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=14$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{2}$
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=14$, $h$ doit être égale à $\frac{7}{3}$
\end{itemize}
\item Pour calculer le volume, on a
\begin{eqnarray*}
V &=& h\times x \times 2 \\
14 &=& h\times x \times 2 \\
x &=& \frac{14}{h\times 2} = \frac{7}{h}
\end{eqnarray*}
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
\begin{eqnarray*}
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{7}{x}\times 2\times 2\\
S(x) &=& 4x + 14 + \frac{28}{x}
\end{eqnarray*}
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
\begin{eqnarray*}
S(x) &=& 4x + 14 + \frac{28}{x}\\
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{28}{x}\\
S(x) &=& \frac{4x^2 + 14x + 28}{x}
\end{eqnarray*}
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
\[
u(x) = 4x^2 + 14x + 28 \Rightarrow u'(x) = 14 + 8x
\]
\[
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
\]
Donc au numérateur on obtient
\begin{eqnarray*}
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (14 + 8x)\times x - (4x^2 + 14x + 28)\times 1\\
&=& - 28 + 4x^2
\end{eqnarray*}
Donc
\[
S'(x) = \frac{- 28 + 4x^2}{x^2}
\]
\item Tableau de variations de $S$
\begin{itemize}
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
\item Signe de $- 28 + 4x^2$: c'est un polynôme du 2e degré
\[
\Delta = 448 > 0
\]
Il y a donc 2 racines
\[
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
x_2 = 2.6457513110645907
\]
Et on sait que $- 28 + 4x^2$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
\item Tableau de variations
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$- 28 + 4x^2$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
\tkzTabLine{d,+, , +, }
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
\end{tikzpicture}
\end{itemize}
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
\end{enumerate}
\end{solution}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
\begin{exercise}[subtitle={climatisation}]
La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0.072$ gramme de gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $530$ grammes.
\subsection*{Partie A}
Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?
\subsection*{Partie B}
Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0.072$ gramme, le système perd $2\,\%$ de sa masse chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc, $u_0 = 530$ et on admet que pour tout entier naturel $n$,
on a :
\[
u_{n+1} = 0.98 u_n - 0.072.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non
nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant
dans le système.
\begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
\textbf{Variables} \\
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
\textbf{Entrée} \\
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\textbf{Sortie} \\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme.
\item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ?
Arrondir au gramme près.
\end{enumerate}
\item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + 3.6$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$.
\item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0.98$.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 533.6 \times 0.98^n - 3.6$.
\item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.}
\end{enumerate}
\item Résoudre $530 \times 0.98^n - 3.6 < 440$ puis interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
\subsection*{Partie A}
\begin{itemize}
\item Quantité à perdre avant recharge
\[
530 - 440 = 90
\]
\item À raison d'une perte de 0.072 par jour. Il faudra recharger dans
\[
\frac{90}{0.072} = 1250 \mbox{ jours}
\]
\end{itemize}
\subsection*{Partie B}
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
u_0 &=& 530\\
u_1 &=& 0.98\times u_0 - 0.072 = 519.328\\
u_2 &=& 0.98\times u_1 - 0.072 = 508.86944
\end{eqnarray*}
\item
\begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
\textbf{Variables} \\
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\
\textbf{Entrée} \\
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $0.98*u-0.072$ \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\textbf{Sortie} \\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$
\item
\begin{enumerate}
\item $v_0 = u_0 + 3.6 = 530 + 3.6 = 533.6$
\item $v_n = 533.6\times 0.98^n$
\item Comme $v_n = u_n + 3.6$ alors $u_n = v_n - 3.6$ et donc
\[
u_n = 533.6 \times 0.98^n - 3.6
\]
\item $u_{20} =533.6 \times 0.98^{20} - 3.6= 353$
\end{enumerate}
\item
\begin{eqnarray*}
530 \times 0.98^n - 3.6 &<& 440 \\
530 \times 0.98^n &<& 440+3.6 \\
0.98^n &<& \frac{440+3.6}{530} \\
ln(0.98^n) &<& ln\left(\frac{440+3.6}{530}\right) \\
n\times ln(0.98) &<& ln\left(\frac{440+3.6}{530}\right) \\
n &>& \frac{ln\left(\frac{440+3.6}{530}\right)}{ln0.98} \\
\end{eqnarray*}
Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(0.98)$ est négatif.
Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation.
\end{enumerate}
\end{solution}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: