\begin{exercise}[subtitle={climatisation}] %#- set pointfix = (r*100/pp).decimal %#- set r = Decimal.random(min_value=0.1, max_value=0.9, digits=1) %- set pp = Decimal.random(min_value=1, max_value=9, digits=0) %- set pointfix = Decimal.random(min_value=1, max_value=10, digits=1) %- set r = pointfix*pp*Decimal("0.01") %- set q = 1 - pp*Decimal("0.01") %- set u0 = Integer.random(min_value=50, max_value=70)*10 %- set v0 = u0 + pointfix La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir. On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $\Var{r}$ gramme de gaz chaque jour. Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $\Var{u0}$ grammes. \subsection*{Partie A} Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes. Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ? \subsection*{Partie B} Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $\Var{r}$ gramme, le système perd $\Var{pp}\,\%$ de sa masse chaque jour. Le garagiste recharge alors complètement le réservoir. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite. On a donc, $u_0 = \Var{u0}$ et on admet que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ u_{n+1} = \Var{q} u_n - \Var{r}. \] \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. \item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système. \begin{center} \begin{tabular}{| l |} \hline \textbf{Variables} \\ \hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\ \hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\ \hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\ \textbf{Entrée} \\ \hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\ \textbf{Initialisation}\\ \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\ \textbf{Traitement} \\ \hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\ \hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm} \\ \hspace*{0.5cm} Fin pour\\ \textbf{Sortie} \\ \hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme. \item Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de $20$ jours ? Arrondir au gramme près. \end{enumerate} \item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n + \Var{pointfix}$. \begin{enumerate} \item Calculer $v_0$. \item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\Var{q}$. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \Var{v0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix}$. \item À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la \textbf{question 2.b.} \end{enumerate} \item Résoudre $\Var{u0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} < 440$ puis interpréter le résultat. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{solution} \subsection*{Partie A} \begin{itemize} \item Quantité à perdre avant recharge \[ \Var{u0} - 440 = \Var{u0-440} \] \item À raison d'une perte de \Var{r} par jour. Il faudra recharger dans \[ \frac{\Var{u0-440}}{\Var{r}} = \Var{((u0-440)/r).decimal._mo.value | round(0)} \mbox{ jours} \] \end{itemize} \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item \begin{eqnarray*} u_0 &=& \Var{u0}\\ %- set u1 = q*u0-r u_1 &=& \Var{q}\times u_0 - \Var{r} = \Var{u1}\\ %- set u2 = q*u1-r u_2 &=& \Var{q}\times u_1 - \Var{r} = \Var{u2} \end{eqnarray*} \item \begin{center} \begin{tabular}{| l |} \hline \textbf{Variables} \\ \hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm} \\ \hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\ \hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre réel\\ \textbf{Entrée} \\ \hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\ \textbf{Initialisation}\\ \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\ \textbf{Traitement} \\ \hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à N\\ \hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $\Var{q}*u-\Var{r}$ \\ \hspace*{0.5cm} Fin pour\\ \textbf{Sortie} \\ \hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Avec la calculatrice, on fait une table avec les valeurs de $u$ \item \begin{enumerate} \item $v_0 = u_0 + \Var{pointfix} = \Var{u0} + \Var{pointfix} = \Var{v0}$ \item $v_n = \Var{v0}\times \Var{q}^n$ \item Comme $v_n = u_n + \Var{pointfix}$ alors $u_n = v_n - \Var{pointfix}$ et donc \[ u_n = \Var{v0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} \] \item $u_{20} =\Var{v0} \times \Var{q}^{20} - \Var{pointfix}= \Var{(v0*q**20 - pointfix)._mo.value | round(0)}$ \end{enumerate} \item \begin{eqnarray*} \Var{u0} \times \Var{q}^n - \Var{pointfix} &<& 440 \\ \Var{u0} \times \Var{q}^n &<& 440+\Var{pointfix} \\ \Var{q}^n &<& \frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}} \\ ln(\Var{q}^n) &<& ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right) \\ n\times ln(\Var{q}) &<& ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right) \\ n &>& \frac{ln\left(\frac{440+\Var{pointfix}}{\Var{u0}}\right)}{ln\Var{q}} \\ \end{eqnarray*} Il ne faut pas oublier d'inverser le sens de l'inégalité à la dernière étape car $ln(\Var{q})$ est négatif. Le nombre trouvé est le nombre de jours qui vont passer avant de devoir recharger la climatisation. \end{enumerate} \end{solution}