\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\title{Polynômes du 2e degré - Développer Factoriser}
\tribe{1ST}
\date{Mars 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Développer}]
    Ci-dessous des polynômes du 2nd degré écrit sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ que vous allez devoir développer.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $(x+4)(x-2)$
            \item $(x-3)(x-8)$
            \item $2(x-4)(x-8)$
            \item $-3(x-1)(x-6)$
            \item $10(x-2)(x-5)$
            \item $0.5(x+1)(x+9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\hline
\medskip
On appelle \textbf{racine} d'un polynôme $f(x)$ une valeur de $x$ telle que $f(x) = 0$. 

Par exemple, $3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$ car
\[
    f(3) = 3^2 - 2\times3 -3 = 9 - 6 - 3 = 0
\]
\hline
\begin{exercise}[subtitle={Racines}]
    Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier    
    \begin{enumerate}
        \item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3^2-2x-3$.
        \item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
        \item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
        \item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}]
    \begin{enumerate}
        \item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
            \[
                f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 5(x-5)(x-0.2)
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
                \item Démontrer que $f(x) = g(x)$ pour toutes valeurs de $x$ réelles.
                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Que ce passe-t-il pour les valeurs $x=5$et $x=0.2$?
            \end{enumerate}
        \item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
            \[
                h(x) = x^2 + 2x - 15
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
                \item En vous inspirant de ce qui a été fait avant, conjecturer une forme factorisée de $f$. Démontrer que cette forme factorisée convient.
            \end{enumerate}
        \item Proposer une méthode pour factoriser un polynôme du 2nd degré.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
    Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
    \begin{enumerate}
        \item On veut factoriser $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
                \item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
                    \[
                        -3\qquad -2 \qquad -1 \qquad 1 \qquad 2
                    \]
                \item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
            \end{enumerate}
        \item On veut factoriser $g(x) = 2x^2 - 6x + 4$.
            \begin{enumerate}
                \item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
                \item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
                \item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}

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%%% End: