\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage{myXsim} % Title Page \title{DS 5} \tribe{1ST} \date{17 janvier 2020 \hfill 40minutes} \xsimsetup{ solution/print = false } %\geometry{left=10mm,right=10mm, top=5mm} \begin{document} \maketitle Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié. \begin{exercise}[subtitle={Lave vaiselle}, points=6] Une étude a été menée sur les acheteurs de lave vaisselle. Cette étude montre que après un achat, 10\% des acheteurs ramènent le lave vaisselle pour se faire rembourser. On choisit au hasard un acheteur. On note $A$ l'évènement: "le propriétaire ramène le lave vaisselle pour se faire rembourser." On note $p$ la probabilité de l'évènement $A$. \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $p$. \item Montrer que cette expérience aléatoire correspond à une épreuve e Bernoulli et donner, sous forme d'un tableau, la loi associée. \end{enumerate} On choisit à présent au hasard 3 acheteurs. On admet que ce correspond à reproduire 3 fois l'expérience précédente dans des conditions identiques et indépendantes. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de client qui ramène leur lave vaisselle. \begin{enumerate}[resume] \item Représenter cette expérience par un arbre de probabilité. \item Calculer la probabilité qu'aucun acheteur n'ai rapporté sa machine à laver pour se faire rembourser. On arrondira le résultat au centième. \item Calculer la probabilité que plus de 2 acheteurs aient rapporté leur machine pour se faire rembourser. On arrondira le résultat au centième. \item Calculer $P(X\leq1)$ \end{enumerate} \end{exercise} \begin{solution} \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé $p=10\% = 0.1$ \item Cette expérience est une expérience de Bernoulli car il y a 2 issues possibles: l'acheteur ramène le lave vaisselle (succès) ou pas (échec). \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Issues & Ramène (1) & Garde (0) \\ \hline Probabilite & 0.1 & 0.9 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Chaque acheteur a 2 choix: ramener ou non donc chaque étage de notre arbre a 2 branches. Comme il y a 3 acheteurs, cela revient à reproduire 3 fois l'expérience donc l'arbre a 3 étages. Dans l'arbre, on note $A$ si le propriétaire ramène le lave vaisselle, et $\bar{A}$ sinon. \begin{tikzpicture}[yscale=0.8] \node {$\bullet$} child {node {$A$} child {node {$A$} child {node {$A$} edge from parent node[above] {0.1} } child[missing] {} child {node {$\bar{A}$} edge from parent node[above] {0.9} } edge from parent node[above] {0.1} } child[missing] {} child[missing] {} child {node {$\bar{A}$} child {node {$A$} edge from parent node[above] {0.1} } child[missing] {} child {node {$\bar{A}$} edge from parent node[above] {0.9} } edge from parent node[above] {0.9} } edge from parent node[above] {0.1} } child[missing] {} child[missing] {} child[missing] {} child[missing] {} child[missing] {} child {node {$\bar{A}$} child {node {$A$} child {node {$A$} edge from parent node[above] {0.1} } child[missing] {} child {node {$\bar{A}$} edge from parent node[above] {0.9} } edge from parent node[above] {0.1} } child[missing] {} child[missing] {} child {node {$\bar{A}$} child {node {$A$} edge from parent node[above] {0.1} } child[missing] {} child {node {$\bar{A}$} edge from parent node[above] {0.9} } edge from parent node[above] {0.9} } edge from parent node[above] {0.9} } ; \end{tikzpicture} \item Probabilité qu'aucun acheteur n'ai ramené le lave vaisselle ($X=0$). C'est la branche la plus à droite. \[ P(X=0) = 0.9\times 0.9\times 0.9 =0.729 \] \item \[ P(X\geq2) = P(X=2) + P(X=3) = 3\times 0.1\times0.1\times 0.9 + 0.1\times 0.1\times 0.1 = 0.028 \] \item \[ P(X\leq1) = P(X=0) + P(X+1) = 0.9^3 + 3\times0.1\times0.9^2 = 0.972 \] On aurait pu aussi faire \[ P(X\leq1) = 1 - P(X\geq2) = 1 - 0.028 = 0.972 \] \end{enumerate \end{solution} \begin{exercise}[subtitle={Nombre de malades}, points=6] Une épidémie a frappé les habitants d'une ville. On s'intéresse à la progression de cette épidémie en fonction du temps. On modélise cette évolution à l'aide d'une fonction $f$ définie sur $\intFF{0}{30}$ que l'on a tracer sa représentation graphique $\mathcal{C}_f$ ci-dessous. Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points $A(4;400)$, et $B(27;2200)$ sont également tracées. \begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=0.5] \tkzInit[xmax=32,xstep=1, ymax=4500, ystep=200] \tkzAxeX[right] \tkzAxeY[above] \tkzGrid \tkzFct[color=red,domain=0:32, very thick]{-x**3+30*x**2} \tkzFct[color=black,domain=0:14, very thick]{192*(x-4)+416} \draw (4,2) node {$\times$} node [above left] {$A$}; \tkzFct[color=black,domain=22:30, very thick]{-567*(x-27)+2187} \draw (27,11) node {$\times$} node [above right] {$B$}; \end{tikzpicture} Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes. \begin{enumerate} \item Quelle est la valeur de $f(27)$? Que signifie cette valeur? \item Lire graphiquement la valeur de $f'(27)$. \item Calculer le taux de variation de $f$ entre 4 jours et 16 jours. Que signifie cette valeur? \item Au bout de combien de jours, l'épidémie a atteint son maximum? Combien y avait-il alors de malades? \item Déterminer le nombre de jours durant lesquels le nombre de malades est supérieur ou égal à 25\% du pic de l'épidémie. \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 3400$. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{solution} \begin{enumerate} \item $f(27) = \np{2400}$. Cela signifie que au bout de 27 jours, il y avait \np{2400} malades. \item $f'(27) = -600$ (quand on se déplace de 1 à droite, on descend de 3 graduations pour atteindre la tangente et 3 graduations font 600). \item \[ \frac{f(16)-f(4)}{16-4} = \frac{3600 - 400}{16-4} = 266 \] Cela signifie qu'entre le 4e et le 16e jours, il y a eu en moyenne 266 nouveaux malades par jour. \item Le maximum a été atteint en 20jours avec \np{4000} malade. \item 25\% du pic correspond à 25\% de \np{4000} soit \np{1000} malade. On remarque que l'on atteint \np{1000} malades à 6,5jours et qu'on repasse en dessous à 28,5jours soit environ 22 jours. \item $f(x) = 3400$ pour $x = 15$ et $x = 24$. \end{enumerate} \end{solution} \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "master" %%% End: