\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
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%\usepackage{tasks}

\title{DS 4}
\tribe{Terminale L-ES}
\date{20 décembre 2019}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.

\begin{exercise}[subtitle={Gestion d'un parc de vélos}]
    Afin de conserver au fil des années un parc en bon état, un loueur de vélos se sépare chaque hiver de 20\,\% de son stock et achète ensuite $35$ nouveaux vélos. 

    On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représente le nombre de vélos présents dans le stock de ce loueur au 1\up{er} juillet de l'année $(2018 + n)$. 

    Au 1\up{er} juillet 2018, le loueur possède $150$ vélos, ainsi $u_0 = 150$. 

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer le nombre de vélos dans le stock du loueur au 1\up{er} juillet 2019. 
                \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,8u_n + 35$. 
            \end{enumerate}
        \item On a calculé les premiers termes de cette suite à l'aide d'un tableur. 

            Une copie d'écran est donnée ci-dessous: 

            \begin{center}
                \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
                                                          &A   &B\\ \hline   
                    1   &rang $n$   &terme $u_n$\\ \hline   
                    2   &0   &150 \\ \hline   
                    3   &1   &155\\ \hline    
                    4   &2   &159 \\ \hline   
                    5   &3   &162,2\\ \hline 
                \end{tabularx}
            \end{center}   

            \begin{enumerate}
                \item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B3 pour obtenir, par copie vers le bas, les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
                \item Pour les termes de rang 36, 37, 38, 39 et 40, on obtient les résultats suivants (arrondis au millième) : 

                    \begin{center}
                        \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
                            38&   36&   174,992 \\ \hline   
                            39&   37&   174,994\\ \hline    
                            40&   38&   174,995\\ \hline    
                            41&   39&   174,996\\ \hline    
                            42&   40&   174,997\\ \hline    
                        \end{tabularx}
                    \end{center} 

                    Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 
            \end{enumerate}
        \item \emph{Dans cette question, on cherche à démontrer la conjecture émise à la question précédente}. 

            Pour cela, on pose pour tout entier naturel $n$ :  $v_n= u_n - 175$. 
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
                \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = - 25 \times  0,8^n + 175$. 
                \item Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 
            \end{enumerate}
        \item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ tels que : $u_n \geqslant 170$. 
            \begin{enumerate}
                \item Compléter l'algorithme en annexe pour trouver cette valeur.
                \item Exécuter cet algorithme pour trouver la valeur de $n$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. 
            \end{enumerate}
        \end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item $u_1=150\times 0,8+35=155$. Au 1\up{er} juillet 2019, le loueur aura 155 vélos.
                \item Le terme $u_n$ correspond au nombre de vélos l'année $(2018+n)$, $u_{n+1}$ le nombre de vélos l'année suivante. D'une année à l'autre il vend 20 \% de son stock, il lui en reste donc 80 \% soit $0,8\times u_n$. Puis il ajoute 35 nouveaux vélos. Donc il aura l'année suivante $0,8\times u_n+35$.

                    Ainsi $\forall n\in \N$, $u_{n+1}=0,8u_n+35$ 
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Dans la cellule $B3$, il faut saisir :  $=0,8*\text{B}2+35$
                \item Le tableau donnant les termes de la suite pour $n$ allant de 38 à 42 permet de conjecturer que\\
                    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=175$
            \end{enumerate}
        \item On pose $\forall n\in \N$, $v_n=u_n-175$
            \begin{enumerate}
                \item $\forall n\in \N$, $v_{n+1}=u_{n+1}-175=0,8u_n+35-175=0,8u_n-140=0,8\left(u_n-\dfrac{140}{0,8}\strut\right)=0,8(u_n-175)=0,8v_n$\\
                    Donc la suite $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=u_0-175=-25$
                \item $\forall n\in \N$, $v_n=v_0\times q^n=-25\times 0,8^n$.

                    De plus $\forall n\in \N$, $u_n=v_n+175=-25\times 0,8^n+175$.
                \item La suite géométrique $(v_n)$ a pour raison $q=0,8$. $q\in]-1\,;\,1[$ donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,8^n = 0$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$.

                    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n+175=0+175=175$.
            \end{enumerate} 
        \item   
            \begin{enumerate}
                \item ~
                    \begin{center}
                        \begin{minipage}{0.5\linewidth}
                            \begin{algorithm}[H]
                                \SetAlgoLined
                                $u \leftarrow 150$ \;
                                $n \leftarrow 0$ \;
                                \Tq{$n < 179$}{
                                    $u \leftarrow u*0.9+35$ \;
                                    $n \leftarrow n+1$ \;
                                }
                            \end{algorithm}
                        \end{minipage}
                    \end{center}
                \item 
                    En tâtonnant avec la calculatrice, on obtient
                    \[
                        u_7 = 169,76 \qquad \qquad u_8 = 170,8
                    \]
                    Donc au bout de 8 années, soit le 1\up{er} juillet 2026, le loueur possèdera plus de 170 vélos dans son stock.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\pagebreak

\begin{exercise}[subtitle={Club de foot}]
    Un club de football est composé d'équipes adultes masculines, adultes féminines et d'équipes d'enfants. Chaque week-end, la présidente Claire assiste au match d'une seule des équipes du club et elle suit:

    \begin{list}{\textbullet}{}
    \item dans 10\,\% des cas, le match d'une équipe adulte féminine;
    \item dans 40\,\% des cas, le match d'une équipe adulte masculine;
    \item dans les autres cas, le match d'une équipe d'enfants.
    \end{list}

    Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe masculine, la probabilité que celle-ci gagne est $0,6$. Lorsqu'elle assiste au match d'une équipe d'enfants, la probabilité que celle-ci gagne est $0,54$.

    La probabilité que Claire voie l'équipe de son club gagner est $0,58$.

    On choisit un week-end au hasard. On note les évènements suivants:

    \begin{list}{\textbullet}{}
    \item $F$: \og Claire assiste au match d'une équipe adulte féminine \fg{};
    \item $M$: \og Claire assiste au match d'une équipe adulte masculine \fg{}; 
    \item $E$: \og Claire assiste au match d'une équipe d'enfants \fg{};
    \item $G$: \og l'équipe du club de Claire gagne le match \fg{}. 
    \end{list}

    \smallskip

    \emph{Pour tous évènements $A$ et $B$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$, $p(A)$ la probabilité de $A$ et, si $B$ est de probabilité non nulle, $p_{B}(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item L'arbre de probabilité est donné en \textbf{annexe}. Le compléter au fur et à mesure de l'exercice.
        \item Déterminer la probabilité $p(M \cap G)$.
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que $p(F \cap G) = 0,07$.
                \item En déduire $p_{F}(G)$.
                \item La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$. La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine?
            \end{enumerate}

        \item Claire annonce avoir assisté à la victoire d'une équipe du club. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi le match d'une équipe adulte féminine ?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item ~
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[grow=right, xscale=2]
                    \node {.} 
                    child {node {$E$}
                        child {node {$G$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.54}
                        }
                        child {node {$\overline{G}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.46}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.5}
                    }
                    child[missing] {}
                    child {node {$M$}
                        child {node {$G$} 
                            edge from parent
                            node[above] {0.6}
                        }
                        child {node {$\overline{G}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.4}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.4}
                    }
                    child[missing] {}
                    child { node {$F$}
                        child {node {$G$} 
                            edge from parent
                            node[above] {0.7}
                        }
                        child {node {$\overline{G}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.3}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.1}
                    } ;
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item $p(M \cap G)= p(M)\times p_{M}(G)=0,4 \times 0,6=0,24$
        \item
            \begin{enumerate}
                \item D'après la formule des probabilités totales:
                    $p(G)=p(F\cap G) + p(M\cap G)+p(E\cap G)$.

                    On sait que $p(G)=0,58$ et que $p(M\cap G)=0,24$.

                    \[
                        p(E \cap G)= p(E)\times p_{E}(G)=0,5 \times 0,54=0,27
                    \]

                    On en déduit que $p(F \cap G) = p(G) - p(M\cap G) - p(E\cap G) = 0,58-0,24-0,27 = 0,07$.
                \item $p(F \cap G) = p(F)\times p_{F}(G)$ donc 
                    \[
                        p_{F}(G) = \dfrac{p(F \cap G)}{p(F)} = \dfrac{0,07}{0,1}=0,7
                    \]

                    On peut ainsi compléter l'arbre (voir \textbf{annexe)}.

                \item La probabilité que l'équipe adulte féminine gagne un match est $0,47$.% La présence de Claire semble-t-elle favoriser la victoire de l'équipe adulte féminine?

                    La probabilité que l'équipe féminine gagne un match sachant que Claire a assisté au match est
                    $p_{F}(G) = 0,7$.

                    Donc la présence de Claire semble favoriser la victoire de l'équipe féminine.
            \end{enumerate}

        \item Claire annonce avoir assisté à la victoire d'une équipe de club. 
            La probabilité qu'elle ait suivi le match d'une équipe adulte féminine est 
            $p_{G}(F)=\dfrac{p(F\cap G)}{p(G)} = \dfrac{0,07}{0,58} \approx 0,12$.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Vrai ou Faux}]
    Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
    \begin{enumerate}
        \item On considère l'arbre pondéré suivant:

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[xscale=2, grow=right]
                    \node {.} 
                    child {node {$R$}
                        child {node {$S$} 
                            edge from parent
                            node[below] {0.4}
                        }
                        child {node {$\overline{S}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.6}
                        } 
                        edge from parent
                        node[below] {0.7}
                    }
                    child[missing] {}
                    child { node {$\overline{R}$}
                        child {node {$S$}
                            edge from parent
                            node[below] {0.2}
                        }
                        child {node {$\overline{S}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.8}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.3}
                    } ;
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

            \textbf{Affirmation 1}: La probabilité de $\overline{R}$ sachant $S$ est $0,06$.

            \medskip

        \item Soit $k$ un réel tel que $0 \leqslant k < 18$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left [k~;\, 18\strut\right ]$. On suppose que l'espérance de $X$ est égale à 12.

            \smallskip

            \textbf{Affirmation 2}: La valeur de $k$ est 9.

            \medskip

        \item Soit $f$ une fonction dérivable sur l'intervalle $\left [0~;\, 15\strut\right ]$. On suppose que sa fonction dérivée, notée $f'$, est continue sur $\left [0~;\, 15\strut\right ]$. Les variations de $f'$ sont représentées dans le tableau ci-dessous.

            \begin{minipage}{0.4\linewidth}
                \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$x$/1,$f'(x)$/2}{0, 5, 15}
                    \tkzTabVar{+/ 30, -/ -5, +/ 10}
                \end{tikzpicture}

            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.6\linewidth}

                \textbf{Affirmation 3}: La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.

                \bigskip

                \textbf{Affirmation 4}: La fonction $f$ est convexe sur $\left [5~;\, 15\strut\right ]$.

            \end{minipage}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On a $P_S\left(\overline{R}\right) = \dfrac{P\left(S \cap \overline{R}\right)}{P(S)}$.

            $\bullet~~$ $P\left(S \cap \overline{R}\right) = P\left(\overline{R} \cap S\right) = P\left(\overline{R} \right) \times P_{\overline{R}}(S) = 0,3 \times 0,2 : 0,06$.

            $\bullet~~$ D'après la loi des probabilités totales :

            $P(S) = P(R \cap S) + P\left(\overline{R} \cap S \right) = P(R) \times P_R (S) + P\left(\overline{R} \right) \times P_{\overline{R}}(S) = 0,7 \times 0,4 + 0,3 \times 0,2 = 0,28 + 0,06 = 0,34$.

            Donc $\dfrac{P\left(S \cap \overline{R}\right)}{P(S)} = \dfrac{0,6}{0,34} \approx 0,18 \neq 0.06$ : l'affirmation est fausse.

            \medskip

        \item L'espérance de $X$sur $[k~;~18]$ est égale à $\dfrac{k + 18}{2} = 12 \iff k +18 = 24 \iff k = 6$ : l'affirmation est fausse.

            \medskip

        \item        \smallskip

            \textbf{Affirmation 3}: La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une et une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses.

            \smallskip

            D'après le tableau de variations de $f'$, cette dérivée s'annule sur l'intervalle [0~;~5] et sur l'intervalle [5~;~15]. Il existe donc $a \in [0~;~5[$ tel que $f'(a) = 0$ et $b \in ]5~;~15]$ tel que $f'(b) = 0$. En ces deux points distincts le nombre dérivé est nul ce qui signifie que les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ sont horizontales : l'affirmation est fausse.

            \textbf{Affirmation 4}: La fonction $f$ est convexe sur $\left [5~;\, 15\strut\right ]$.

            D'après le tableau de variations $f'$croissante sur $[5~;~15]$ donc la fonction $f$ est convexe sur cet intervalle : affirmation vraie.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}

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