\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{myXsim}
%\usepackage[inline]{enumitem}
%\usepackage{tasks}

\title{Bac Blanc}
\tribe{Terminale L-ES}
\date{19 mars 2020}
\duree{3h}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\titlepage

\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=4]
    \textbf{Commun à tous les candidats}
    \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
        Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
    Aucune justification n'est demandée.}
    \begin{enumerate}
        \item On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\intFO{0}{+\infty}$. On pose 

            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                On pose
                \[
                    I = \int_{1}^{3} f(x)dx
                \]
                Un encadrement de $I$ est 
                \begin{enumerate}
                    \item $1 \leq I \leq 3$
                    \item $2 \leq I \leq 4$
                    \item $5 \leq I \leq 7$
                \end{enumerate}
            \end{minipage}
            \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[scale=1]
                    \tkzInit[xmin=-0.1,xmax=5,ymax=5]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY
                    \tkzFct[color=red, line width=1pt]{4*x**2/(x**2+1)}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
        \item On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
            La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $\np{4095}$
                    \item $\np{8191}$
                    \item $\dfrac{1 -2^{14}}{1 - 2}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item  On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$
            définie sur $[0~;~+ \infty[$.

            \begin{center}
                %\def\f{x^2*(x^2-4)/3}
                \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=3]
                    \tkzInit[xmin=0,xmax=3,xstep=1,
                    ymin=-2,ymax=3,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
                    \tkzFct[domain=0:3, line width=1pt]{x*x*(x*x-4)/3}
                    %\draw (2,3) node [above left] {$\Delta$};
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $k$ est concave sur l'intervalle [1~;~2]
                    \item $k$ est convexe sur l'intervalle [0~;~2]
                    \item $k$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$
                    \item $k$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item Le prix d’un produit est passé de 200\euro\; à 100 \euro.
            Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d’environ :
            \begin{multicols}{4}
                \begin{enumerate}
                    \item 50\%
                    \item 25\%
                    \item 29\%
                    \item 71\%
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Location de voitures}, points=5]
    \textbf{Candidats de la série ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de la série L}

    \medskip

    Un loueur de voitures dispose au 1\ier{} mars 2015 d'un total de \np{10000} voitures pour l'Europe. 

    Afin d'entretenir son parc, il décide de revendre, au 1\ier{} mars de chaque année, 25\,\% de son parc automobile et d'acheter \np{3000} voitures neuves.

    \smallskip

    On modélise le nombre de voitures de l'agence à l'aide d'une suite: 

    Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1\ier{} mars de l'année $2015+n$.

    On a donc $u_0=\np{10000}$.

    \begin{enumerate}
        \item Calculer le nombre de voitures présentes dans le parc automobile au 1er mars 2016.
        \item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n+\np{3000}$.

        \item Pour tout entier naturel $n$, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par

            \hfill$v_n=u_n-\np{12000}$.\hfill{}

            \begin{enumerate}
                \item 
                    Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,75. Préciser son premier terme.

                \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

                \item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.

                \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{12000} - \np{2000} \times 0,75^n$.

                \item En vous appuyant sur les réponses données aux deux questions précédentes, que pouvez-vous conjecturer sur le nombre de voitures que comptera le parc automobile de ce loueur au bout d'un grand nombre d'années? 

            \end{enumerate} 

        \item On admet dans cette question que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. 

            On aimerait déterminer l'année à partir de laquelle le parc automobile comptera au moins \np{11950} voitures. 

            \begin{enumerate}
                \item Recopier l'algorithme suivant et compléter les pointillés afin qu'il permette de répondre au problème posé.

                    \begin{center}
                        \begin{tabular}{|l @{\hspace*{0.5cm}}l|}
                            \hline
                            Initialisation & U prend la valeur \np{10000}\\
                    & N prend la valeur 0\\
                            Traitement     & Tant que \dots\\
                                           & \hspace*{0.3cm} N prend la valeur \dots \hspace*{1cm}\ \\
                                           & \hspace*{0.3cm} U prend la valeur \dots\\
                                           & Fin Tant que\\
                            Sortie         & Afficher \dots\\
                            \hline
                        \end{tabular}
                        \end{center}

                    \item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année recherchée.

                        %\item Retrouver ce résultat en résolvant l'inéquation 

                        %    \hfill$\np{12000} - \np{2000}\times 0,75^n \geqslant \np{11950}$.\hfill{}

                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
\end{exercise}

\pagebreak

\begin{exercise}[subtitle={Chasse-neige et automates}, points=5]
    \textbf{Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité}

    \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

    \medskip

    \textbf{Partie 1}

    Suite à des intempéries, un chasse-neige doit déblayer toutes les routes reliant les stations de son secteur. On modélise ce secteur par le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les différentes stations désignées par des lettres. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, du chasse-neige entre deux stations.

    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.2]{./fig/graph_chasse_neige}
    \end{center}

    \begin{enumerate}
        \item Ce graphe est-il connexe? Justifier.
        \item Le chasse-neige part de la station G. Peut-il partir de cette station et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes, matérialisées par les arêtes de ce graphe ?
        \item  Une saleuse doit de même parcourir l'ensemble des routes du secteur après déblaiement de la neige. Elle est garée à la station A et, après son travail, peut se garer dans n'importe quelle station. 

            Peut-elle parcourir une et une seule fois chacune des routes
            pour traiter l'ensemble du secteur ?
        \item  On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe, les sommets étant rangés dans \underline{l'ordre alphabétique}

            Déterminer $M$.

        \item On donne : 
            \[
                M^4 = \begin{pmatrix}
                    61 &48 &52 &28 &45 &55 &24\\
                    48 &44 &41 &21 &42 &45 &20\\
                    52 &41 &50 &25 &41 &52 &25\\
                    28 &21 &25 &15 &20 &24 &10\\
                    45 &42 &41 &20 &44 &48 &21\\
                    55 &45 &52 &24 &48 &61 &28\\
                    24 &20 &25 &\textbf{10} & 21 &28 &15
                \end{pmatrix}
                \]

                Interpréter dans le contexte de l'exercice le nombre $10$ figurant en caractère gras  dans la matrice.
        \end{enumerate}

        \medskip

        \textbf{Partie 2}

        Pour accéder à un local d'une petite entreprise, les employés doivent choisir un code reconnu par l'automate suivant :

        \begin{center}
            \includegraphics[scale=0.2]{./fig/graph_automate}
        \end{center}

        Une succession de lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet $\pscirclebox{1}$ et en sortant au sommet $\pscirclebox{4}$.

        % \begin{list}{\textbullet}{Par exemple:}
        % \item le mot $bcbab$ est un mot reconnu par cet automate, et correspond au chemin 121334 ;
        % \item le mot $abac$ n'est pas reconnu par cet automate.
        % \end{list}

        \begin{enumerate}
            \item Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par cet automate ?

                \hfill{}$abab$, $abc$, $abbcbb$.\hfill{}

            \item Recopier et compléter la matrice d'adjacence
                $M=
                \begin{pmatrix}
                    0 & 2 & 1 & 0\\
                    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
                    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
                    \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
                \end{pmatrix}$
                associée au graphe orienté dans laquelle les sommets sont rangés dans l'ordre croissant.

            \item 
                %Un logiciel de calcul formel donne

                %\[M^4=
                %    \begin{pmatrix}
                %        5 & 3 & 10 & 5\\
                %        1 & 6 & 7 & 4 \\
                %        1 & 3 & 4 & 2 \\
                %        2 & 1 & 4 & 2
                %    \end{pmatrix}
                %    \qquad\text{et}\qquad
                %    M^5=
                %    \begin{pmatrix}
                %        3 & 15 & 18 & 10\\
                %        6 & 6 & 14 & 7\\
                %        3 & 4 & 8 & 4\\
                %        1 & 6 & 7 & 4
                %    \end{pmatrix}
                %\]
                Combien de mots de 4 lettres sont-ils reconnus par l'automate ? Justifier. Quels sont-ils ?
        \end{enumerate}
\end{exercise}

\pagebreak

\begin{exercise}[subtitle={Bois et energie}, points=6]
    \textbf{Commun à tous les candidats}
    \medskip

    \textbf{La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.}

    \medskip

    L'entreprise \emph{BBE (Bio Bois Énergie)} fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des
    chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.

    L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

    \setlength\parindent{1cm}
    \begin{itemize}
        \item[$\bullet~~$] Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par :

            \[C(x) = 0,3x^2 - x + \text{e}^{- x + 5}\]

            où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $C(x)$ le coût de fabrication quotidien
            correspondant en centaines d'euros.
        \item[$\bullet~~$]Dans l'entreprise \emph{BBE} le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de $300$~euros.

            La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle
            [1~;~15] par:

            \[R(x) = 3x\]

            où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes et $R(x)$ la recette quotidienne correspondante
            en centaines d'euros.
        \item[$\bullet~~$]On définit par $D(x)$ le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette $R(x)$ et le coût $C(x)$, où $x$ désigne la quantité de granulés en tonnes.
    \end{itemize}
    \setlength\parindent{0cm}

    \medskip
    \textbf{Partie A : Étude graphique}

    Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}$ et $\Delta$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans un repère d'origine O.

    \begin{center}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.35, xscale=0.8]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=15,xstep=1,
            ymin=0,ymax=54,ystep=2]
            \tkzGrid
            %\tkzGrid[sub, subxstep=0.2, subystep=200]
            \tkzAxeXY%[up space=0.5,right space=.2]
            \tkzFct[domain = 0:15, line width=1pt]{3*x}
            \draw (2,23) node [left] {$\mathcal{C}$};
            \tkzFct[domain = 0:15, line width=1pt]{0.3*x**2-x+exp(-x+5)}
            \draw (2,3) node [above left] {$\Delta$};
        \end{tikzpicture}
    \end{center}

    \textbf{Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.}

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est
            minimal.
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer les valeurs  $C(6)$ et $R(6)$ puis en déduire une estimation du résultat net
                    quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6~tonnes de granulés fabriqués et vendus.
                \item Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice.
            \end{enumerate} 
    \end{enumerate}

    \medskip
    \textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

    On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [1~;~15] par :

    \[g(x) = - 0,6x + 4 + \text{e}^{- x + 5}\]

    On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $g'$ sa fonction dérivée.

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15].
                \item En déduire que la fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle [1~;~15].
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~15], en précisant les valeurs  $g(1)$ et  $g(15)$ arrondies à l'unité.
                \item Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution $\alpha$ et donner une valeur approchée à 0,1 de cette solution

                \item Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g(x)$ sur l'intervalle [1~;~15].
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}

    \medskip
    \textbf{Partie C : Application économique}

    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a :

            \[D (x) = - 0,3x^2 + 4x - \text{e}^{- x + 5}\]

        \item On admet que la fonction $D$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15] et on note $D'$ sa fonction dérivée.

            Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~15], on a $D'(x) = g(x)$, où $g$ est la fonction étudiée dans la partie B.
        \item En déduire les variations de la fonction $D$ sur l'intervalle [1~;~15].
        \item  
            \begin{enumerate}
                \item Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?

                    On donnera une valeur approchée du résultat à $0,1$ tonne près.
                \item Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\pagebreak

\begin{exercise}[subtitle={Enquête client}, points=5]
    \textbf{Commun à tous les candidats}
    \medskip

    Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième. 

    À partir d'une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par : 

    \begin{itemize}
        \item[$\bullet~~$] 60\,\% des clients sont des hommes ;
        \item[$\bullet~~$] 80\,\% des hommes mangent un dessert alors que seulement 45\,\% des femmes en mangent un. 
    \end{itemize}  

    On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note : 
    \begin{itemize}
        \item[$\bullet~~$] $H$ l'évènement \og le client interrogé est un homme \fg{}; 
        \item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le client interrogé a mangé un dessert \fg.
    \end{itemize} 

    On note également :
    \begin{itemize} 
        \item[$\bullet~~$] $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$ ; 
        \item[$\bullet~~$] $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$. 
    \end{itemize}

    \medskip

    \textbf{Partie A}

    \begin{enumerate}
        \item Représenter la situation par un arbre pondéré. 
        \item Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert. 
        \item Montrer que $p(D) = 0,66$. 
        \item Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
    \end{enumerate}

    \medskip

    \textbf{Partie B}

    On rappelle que d'après cette enquête, la probabilité pour qu'un client ait mangé un dessert est de 0,66.

    La chaine de restaurant souhaite estimer le nombre de dessert à préparer à l'avance pour une salle de 60 personnes. Elle suppose alors que le choix des clients se fait de façon identique et indépendantes de celui de autres.

    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui veulent un dessert.
    \begin{enumerate}
        \item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$?
        \item Calculer la probabilité que 50 personnes souhaitent un dessert.
        \item Quelle est la probabilité que moins de 10 clients souhaitent un dessert?
        \item À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de $a$ telle que $P(X \leq a) > 0,95$. Interpréter le résultat.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

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