\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Éléments remarquables du logarithme}, step={1}, topics={Logarithme}]
    \begin{enumerate}
        \item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
        \item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
        \item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
        \item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={1}, topics={Logarithme}]
    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = x-2-\ln(x)$
            \item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
            \item $f(x) = x\ln(x)$
            \item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
            \item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
            \item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions - Bis}, step={1}, topics={Logarithme}]
    Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2x - \ln(x) + 2$
            \item $f(x) = x^3 - 4\ln(x)$
            \item $f(x) = e^{3x} + 2 $
            \item $f(x) = (2x - 2)\ln(x)$
            \item(*) $f(x) = (\ln(x) + 1)(3x+2)$
            \item(*) $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
    \[
        f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
            \[
                f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
            \]
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
        \item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
    \[
        f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
            \[
                f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
            \]
        \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
        \item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
        \item En déduire le tableau de signe de $f$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Recherche par dichotomie}, step={2}, topics={Logarithme}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{5}$ par
    \[
        f(x) = 3x -10 + 4\ln(x)
    \]
    \begin{enumerate}
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que la dérivée de $f$ est
                    \[
                        f'(x) = \frac{3x + 4}{x}
                    \]
                \item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
                \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{5}$.
            \end{enumerate}
        \item On souhaite trouver un encadrement de $\alpha$ par la méthode de dichotomie.

            Pour cela, on propose l'algorithme suivant:
            \begin{center}
                \begin{minipage}{0.5\textwidth}
                    \begin{algorithm}[H]
                        \SetAlgoLined
                        $a \leftarrow 1$ \;
                        $b \leftarrow 5$ \;
                        \Tq{$b-a \leq 0.01$}{
                            $m \leftarrow \dfrac{b+a}{2}$ \;
                            \eSi{f(m) > 0}{
                                $a \leftarrow m$\;
                                }{
                                $b \leftarrow m$\;
                            }
                        }
                        \Retour{$a, b$}
                    \end{algorithm}
                \end{minipage}
            \end{center}
            \begin{enumerate}
                \item En vous aidant du tableau ci-dessous (vous pouvez ajouter des lignes si nécessaire) exécuter l'algorithme pour trouver un encadrement d'amplitude 0.01 de $\alpha$.

                    \begin{center}
                    \begin{tabular}{|*{5}{p{2cm}|}}
                        \hline
                        $a$ & $b$ & $(b-a) \leq 0.01$ & $m$ & $f(m) > 0$ \\
                        \hline
                            & & & & \\
                        \hline
                            & & & & \\
                        \hline
                            & & & & \\
                        \hline
                    \end{tabular}
                    \end{center}
                \item Expliquer le fonctionnement de cet algorithme en quelques phrases.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Primitives}, step={3}, topics={Logarithme}]
    Calculer les primitives des fonctions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = \dfrac{1}{x} + x$
            \item $g(x) = -\dfrac{4}{x}$
            \item $h(x) = 5x + \dfrac{10}{x}$
            \item $i(t) = 2t + \dfrac{4}{t} - 2\dfrac{1}{t^2}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Coût de fabrication}, step={3}, topics={Logarithme}]
    Un usine fabrique entre \np{1000} et \np{7000} objets pas semaines.

    Un étude des moyens de productions a permis de modéliser les coûts de production par la fonction $C$ définie sur $\intFF{1}{7}$ par
    \[
        c(x) = 1,5x^2 - 9x + 24 + \dfrac{48}{x}
    \]
    où $x$ représente la production hebdomadaire en milliers d'objets.
    \begin{enumerate}
        \item Étude des variations des coûts.
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer que la dérivée de $c$ est
                    \[
                        c'(x) = \frac{3(x-4)(x^2+x+4)}{x^2}
                    \]
                \item Étudier le signe de $c'$ et en déduire les variations de $c$
                \item Pour quelle production les coûts de productions sont-ils minimal?
            \end{enumerate}
        \item Étude des coûts de productions moyen.
            \begin{enumerate}
                \item Démontrer qu'une primitive de $c$ est
                    \[
                        C(x) = 0.5x^3 - 4,5x^2 + 24x + 1 + 48\ln(x)
                    \]
                \item Calculer la valeur moyenne de $c$ sur $\intFF{1}{7}$.
                \item Interpréter le résultat précédent.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Coût de fabrication}, step={4}, topics={Logarithme}]
	% Polynésie Juin 2019 Ex 4
	\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}

	\textbf{Partie A}

	\medskip

	Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.

	On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par

	\[f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x).\]

	On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.

	\medskip

	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~9] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

			Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~9] on a : $f'(x)= \dfrac{x^2 -7 x + 6}{x}$.
		\item
			\begin{enumerate}
				\item Justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9] :

                    \begin{center}
                        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
                            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Variations de\\ $f(x)$/2}{1, 6, 9}
                            \tkzTabVar{+/ , -/ , +/ }
                        \end{tikzpicture}
                    \end{center}

				\item  Justifier que, sur l'intervalle [1~;~9], l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
				\item  Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
				\item  On considère l'algorithme ci-dessous:

					\begin{center}
						\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
							$X \gets 1$\\
							$Y \gets 7,5$\\
							Tant que $Y > 5$\\
							\hspace{12mm}$X \gets X + 0,01$\\
							\hspace{12mm}$Y \gets 0,5X^2 - 7X + 14 + 6*\ln (X)$\\
							Fin Tantque\\ \hline
						\end{tabularx}
					\end{center}

					À la fin de l'exécution de l'algorithme, quelle valeur numérique contient la variable $X$?
			\end{enumerate}
		\item  Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est-il minimal ?
			À combien s'élève-t-il ?
	\end{enumerate}

	\bigskip

	\textbf{Partie B}

	\medskip


	Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
	On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par

	\[g (x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}\]

	modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.

	\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~100].
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~100].
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
	\textbf{Partie A}

	\medskip

	Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.

	On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ par
	$f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x)$.

	On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.

	\medskip

	\begin{enumerate}
		\item% La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
			Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ on a
			$f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x)$ donc\\
			$f'(x)= 0,5\times 2x - 7 + 6\times \dfrac{1}{x}
			= x-7-\dfrac{6}{x}
			= \dfrac{x^2-7x+6}{x}$.

			%Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ on a : $f'(x)= \dfrac{x^2 -7 x + 6}{x}$.
		\item
			\begin{enumerate}
				\item On va justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9] :

					\begin{center}
						{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
							\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
							\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
							\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
							$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
								\hline
								x & 1 & \esp & 6 & \esp & 9 \\
								\hline
								  & \Rnode{max1}{\phantom{0}}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\phantom{0}}   \\
								\text{Variations de } f & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
														&  & &   \Rnode{min}{\phantom{0}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
														\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
														%\rput*(-3.7,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}}
														%\rput(-3.7,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
														%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
														%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
														%\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}}
														%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
														\\
														\hline
							\end{array}$
						}
					\end{center}

					Sur $\left [1~;~9\strut\right ]$, $f'(x)$ est du signe de $x^2-7x+6$.

					$\Delta = 7^2 - 4\times 1\times 6 = 49-24=25=5^2$ donc le trinôme $x^2-7x+6$ admet deux racines:\\[3pt]
					$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7-5}{2}=1$ et $x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+5}{2}=6$.

					\smallskip

					On en déduit le signe du trinôme (positif à l'extérieur des racines) donc de $f'(x)$:

					\begin{center}
						\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
						\def\esp{\hspace*{1.2cm}}
						$\begin{array}{|c | *{5}{c} |}
							\hline
							x  & 1 & \esp & 6 & \esp  & 9 \\
							\hline
							f'(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &    \\
							\hline
						\end{array}$
					\end{center}

					Cela justifie les variations de $f$.

				\item%  Justifier que, sur l'intervalle [1~;~9], l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
					On complète le tableau de variations de $f$:
					$f(1)=7,5$, $f(6)\approx 0,75$ et $f(9)\approx 4,7$

					\begin{center}
						{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
							\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
							\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
							\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
							$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
								\hline
								x & 1 & \esp & 6 & \esp & 9 \\
								\hline
								  & \Rnode{max1}{7,5}  &  &  &  & \Rnode{max2}{\approx 4,7}   \\
								\text{Variations de } f & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
														&  & &   \Rnode{min}{\approx 0,75} & & \rule{0pt}{\hauteur}
														\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
														\rput*(-4.5,0.65){\Rnode{zero}{\blue 5}}
														\rput(-4.5,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
														\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
														\\
														\hline
							\end{array}$
						}
					\end{center}

					On en déduit que sur $\left [1~;~9\strut\right ]$, l'équation $f(x)=5$ admet une solution unique $\alpha$.


				\item  %Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
					$\left.
						\begin{array}{l}
							f(2)\approx 6,2 > 5\\
							f(3)\approx 4,1 < 5
						\end{array}
					\right\rbrace
					\Rightarrow
					\alpha \in \left [ 2~;\,3\strut\right ]$
					\hfill
					$\left.
						\begin{array}{l}
							f(2,5)\approx 5,1 > 5\\
							f(2,6)\approx 4,9 < 5
						\end{array}
					\right\rbrace
					\Rightarrow
					\alpha \in \left [ 2,5~;\, 2,6 \strut\right ]$

					$\left.
						\begin{array}{l}
							f(2,55)\approx 5,018 > 5\\
							f(2,56)\approx 4,997 < 5
						\end{array}
					\right\rbrace
					\Rightarrow
					\alpha \in \left [ 2,55~;\, 2,56 \strut\right ]$

				\item  On considère l'algorithme ci-dessous:

					\begin{center}
						\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
							$X \gets 1$\\
							$Y \gets 7,5$\\
							Tant que $Y > 5$\\
							\hspace{12mm}$X \gets X + 0,01$\\
							\hspace{12mm}$Y \gets 0,5X^2 - 7X + 14 + 6*\ln (X)$\\
							Fin Tantque\\ \hline
						\end{tabularx}
					\end{center}

					À la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable $X$ contient la valeur $2,56$, première valeur au centième pour laquelle $Y>5$.
			\end{enumerate}
		\item  Le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est minimal quand la fonction $f$ atteint son minimum c'est-à-dire pour $x=6$; c'est donc pour la fabrication de 600 pneus que  le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est minimal. Ce coût est, en euro, de $f(6)\times 100 \approx 75$.
			%À combien s'élève-t-il ?
	\end{enumerate}

	\bigskip

	\textbf{Partie B}

	\medskip

	Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).

	On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$ par
	$g (x) = 2x -1 + \e^{0,05x}$
	modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.

	\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$.
			Sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$, la fonction $g$ a pour primitive la fonction $G$ définie par\\
			$G(x)=x^2 - x + \dfrac{\e^{0,05x}}{0,05} = x^2-x +20\e^{0,05x}$.

		\item La valeur moyenne $m$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$ est:

			$m=\dfrac{1}{100-0} \ds\int_{0}^{100} g(x) \d x = \dfrac{1}{100} \left [G(100) - G(0) \strut\right ]
			=\dfrac{1}{100}\left [ \left ( \np{9900} + 20\e^{5}\right ) - \left ( 20\right ) \right ]
			= \np{9880} +20\e^{5}\\[3pt]
			\phantom{m}
			\approx \np{128,46}$

		\item %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
			Le coût moyen d'un semoir est donc, en euro, $128,46 \times 100 = \np{12846}$.
	\end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={4}, topics={Logarithme}]
	% Métropole Septembre 2019 Ex 3
	La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux
	fois dérivable sur l'intervalle [1,1~;~8].

	\begin{center}
        \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1.5, domain=1:8]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
            ymin=0,ymax=12,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
            \clip (1.1, 0) rectangle (9,12);
			\tkzFct[line width=1pt]{(2.*x-1.)/log(x)}
        \end{tikzpicture}
	\end{center}

	\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}

	\bigskip

	\textbf{Partie A : étude graphique}

	\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle
			[1,1~;~8]
		\item Quel est le signe de $f'(5)$ ? Justifier.
		\item Encadrer l'intégrale $\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{2}4 f(x)\:\text{d}x$ par deux entiers consécutifs.
		\item  La fonction $f$ est-elle convexe sur [1,1~;~3] ? Justifier.
	\end{enumerate}

	\bigskip

	\textbf{Partie B : étude analytique}

	\medskip

	On admet que $f$ est la fonction définie sur l'intervalle [1,1~;~8] par

	\[f(x) = \dfrac{2x - 1}{\ln (x)}.\]

	\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8], on a :

			\[f'(x) = \dfrac{2\ln (x) - 2  + \frac{1}{x}}{(\ln (x))^2}\]

		\item  Soit $h$ la fonction définie sur [1,1~;~8] par : $h(x) = 2\ln (x) - 2 + \frac{1}{x}$.
			\begin{enumerate}
				\item Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle [1,1; 8].

					Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8],

					\[h'(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}.\]

				\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [1,1~;~8].
				\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur
					l'intervalle [1,1~;~8]. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers
					consécutifs.
			\end{enumerate}
		\item Déduire des résultats précédents le signe de $h(x)$ sur l'intervalle [1,1~;~8].
		\item À l'aide des questions précédentes, donner les variations de [ sur [1,1~;~8].
	\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Loi de Benfort}, step={4}, topics={Logarithme}]
	% Métropole Juin 2017 Ex 4
	Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de \np{2017} est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.

	Dans certaines circonstances, le premier chiffre d'un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que pour tout entier $c$ compris entre 1 et 9,

	\[P(X = c) = \dfrac{\ln (c + 1) - \ln (c)}{\ln(10)}.\]

	Cette loi est appelée loi de Benford.

	\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Que vaut $P(X = 1)$ ?
		\item On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.
			\begin{enumerate}
				\item  \textbf{Premier cas}

					Un fichier statistique de l'INSEE indique la population des communes en France au 1\ier{} janvier 2016 (champ: France métropolitaine et départements d'outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).

					À partir de ce fichier, on constate qu'il y a \np{36677} communes habitées. Parmi elles, il y a \np{11094} communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.

					Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l'affirmation : \og{}le premier chiffre de la population des communes en France au 1 er janvier 2016 suit la loi de Benford \fg{} ?
				\item \textbf{Deuxième cas}

					Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.

					On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres  d'un candidat pris au hasard.

					La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour $X$ ?
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{exercise}



\collectexercisesstop{banque}
