\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DS 4}
\tribe{1ST}
\date{18 décembre 2019 \hfill 40minutes}

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% }
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\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{exercise}[subtitle={Suites}, points=2]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_{10}$ pour la suite
            \[
                u_n = 4n^2 - 5n +1
            \]
        \item Calculer $w_1$ et $w_{5}$ pour la suite
            \[
                \left\{ 
                    \begin{array}{l}
                        w_{n+1} = w_n - 100\\
                        w_0 = \np{1000}
                    \end{array}
                \right.
            \]
        \item Quelle type d'évolution reconnaît-on dans $(w_n)$?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Pompe hydrolique}, points=2]
    Une entreprise  de fourniture industrielles commercialise des pompes hydrauliques.

    On appelle $X$ la variable aléatoire décrivant le nombre de pompes vendu en 1 mois.

    On donne la loi de probabilité de $X$:
    \begin{center}
        \begin{tabular}{|c|*{5}{p{2cm}|}}
            \hline
            Nombre de pompe ($x_i$) & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
            \hline
            probabilité ($p_i$) & 0.1 & 0.16 & 0.25 & 0.2 & \\
            \hline
        \end{tabular}
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la probabilité manquante.
        \item Décrire l'évènement $\left\{ X \leq 2 \right\}$ et calculer sa probabilité.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Déchet non recyclable}, points=6]
    Un restaurateur a produit 250kg de déchets non recyclables en 2017 et 235 kg en 2018.
    \begin{enumerate}
        \item Il affirme avoir diminué sa quantité de déchets de 7\%. Qu'en pensez vous?
        \item À partir de 2018, le restaurateur prévoit, chaque année, de réduire de 5\% la masse de déchets non recyclables.

            On modélise la masse de déchets, exprimée en kg, non recyclables pour l'année $2018+n$ à l'aide d'une suite $(D_n)$. Ainsi on a $D_0 = 235$.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $D_1$ puis $D_2$.
                \item Quel type d'évolution reconnaît-on?
                \item Calculer la masse de déchets produit en 2021.
            \end{enumerate}
        \item Un autre restaurateur affirme que sa production peut être calculée avec l'algorithme suivant:

            \begin{minipage}{0.4\linewidth}
                \begin{algorithm}[H]
                    \Entree{n}
                    \SetAlgoLined
                    $u \leftarrow 300$ \;
                    \Pour{$n$ de 1 à n}{
                        $u \leftarrow u*0.9$ \;
                    }
                    \Sortie{u}
                \end{algorithm}
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.5\linewidth}
                Appliquer cet algorithme pour $n=3$. \\
                Interpréter le résultat dans le cadre de l'exercice.
            \end{minipage}
        \item Écrire un algorithme pour calculer la quantité de déchet pour le premier restaurateur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Forêt}, points=4]
    Dans une forêt, on estime qu'il y a autant de sapins que de chênes.

    On choisit de manière indépendante et aléatoire 3 arbres dans cette forêt.

    On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de sapins choisi parmi ces trois arbres.

    \begin{enumerate}
        \item Représenter l'expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilité.
        \item Calculer la probabilité qu'exactement deux arbres soient des sapins.
        \item Décrire l'évènement $\left\{X = 0\right\}$ puis calculer sa probabilité.
        \item Recopier puis compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
            \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|*{4}{p{2cm}|}}
                    \hline
                    $x_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
                    \hline
                    $p_i$ & & & & \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

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%%% End:

