\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Polynômes du 2e degré - Cours}
\tribe{1ST}
\date{Mars 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\setcounter{section}{1}
\section*{Racines et forme factorisée.}

\subsection*{Définition}

On appelle \textbf{racine} d'un polynôme $f(x)$ une valeur de $x$ telle que $f(x) = 0$. 

\subsubsection*{Exemple}
$3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$ car
\[
    f(3) = 3^2 - 2\times3 -3 = 9 - 6 - 3 = 0
\]

\subsection*{Propriété}

Une racine d'un polynôme correspond à l'abscisse d'un point d'intersection entre la courbe représentative du polynôme et l'axe des abscisses.


\subsubsection*{Exemple}
On a vu que $3$ est une racine de $f(x) = x^2-2x-3$. On peut aussi le "voir" sur un graphique, car la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=3$.

\begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=1]
    \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
    ymin=-5,ymax=10,ystep=1]
    \tkzAxeXY
    \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x*x -2*x - 3}
\end{tikzpicture}

\afaire{Trouver sur le graphique une autre racine puis démontrer que c'est bien une racine}

\subsection*{Propriété - admise}
Un polynôme du 2nd degré a 0, 1 ou 2 racines.

\subsubsection*{Exemple}
\afaire{En vous aidant des graphiques, répondre à la question.
}
Combien de racines ont les polynômes suivants?
\[
    f(x) = 2x^2 \qquad g(x) = x^2 + 4 \qquad h(x) = x^2 - 2
\]

\subsection*{Propriété - admise}
Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ un polynôme du 2nd degré. Alors
\begin{itemize}
    \item S'il a 2 racines $x_1$ et $x_2$ alors on peut le factoriser et on a 
        \[
            f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)
        \]
    \item S'il a 1 racine $x_1$ alors on peut le factoriser et on a 
        \[
            f(x) = a(x-x_1)^2
        \]
    \item S'il n'a pas de racine, alors on ne peut pas le factoriser.
\end{itemize}

\subsubsection{Exemple}
\afaire{Proposer une factorisation de $f(x) = 2x^2-4x-6$}


\end{document}

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%%% TeX-master: "master"
%%% End: