\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[francais,bloc,completemulti]{automultiplechoice}    
\usepackage{base}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=25mm}
\begin{document}

\exemplaire{2}{    

%%% debut de l'en-tête des copies :    

\noindent{\bf QCM  \hfill DS3 - Tsti2d}

\begin{minipage}{.4\linewidth}
\centering\Large\bf DS3 - Tsti2d \\ 28/11/2019

\normalsize Durée : 55 minutes.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.6\linewidth}
\champnom{%
    \fbox{    
                \begin{minipage}{0.8\linewidth}
                  Nom, prénom:

                  \vspace*{.5cm}\dotfill
                  \vspace*{1mm}
                \end{minipage}
         }

     }
    \AMCcodeGridInt[h]{etu}{2}
\end{minipage}

\begin{center}\em

  Aucun document n'est autorisé.
  %L'usage de la calculatrice est interdit.

  %Les questions faisant apparaître le symbole \multiSymbole{} peuvent présenter zéro, une ou plusieurs bonnes réponses. 

\end{center}

%%% fin de l'en-tête

\section*{QCM (répondre sur le sujet)}

    \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte.\\
        Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse fait perdre 0.25poinst. Plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
    Aucune justification n'est demandée.}

\begin{multicols}{2}
\begin{question}{UnifBase}
    Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $\intFF{5}{30}$ Alors $P(10 < X < 15)=$
    \begin{reponseshoriz}
        \bonne{0.2}
        \mauvaise{5}
        \mauvaise{0.25}
        \mauvaise{Impossible}
    \end{reponseshoriz}
\end{question}

\begin{question}{UnifComp}
    Soit $a$ un nombre réel. La variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $\intFF{3}{a}$. On sait que $P(X<7) = 0.8$.
    
    Alors la valeur de $a$ est 
    \begin{reponseshoriz}
        \bonne{8}
        \mauvaise{7,2}
        \mauvaise{9}
        \mauvaise{8.2}
    \end{reponseshoriz}
\end{question}

\begin{question}{PScoord}
    Dans le plan avec un repère, on considère les deux vecteurs suivants définis par leurs coordonnées: 
    \[
        \vec{u} \vectCoord{2}{-1} \qquad \vec{v} \vectCoord{-3}{-1}
    \]
    Alors le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ vaut:

    \begin{multicols}{2}
        \begin{reponses}
            \bonne{le nombre 5}
            \mauvaise{le nombre 7}
            \mauvaise{le vecteur $\vectCoord{-6}{1}$ }
            \mauvaise{le vecteur $\vectCoord{6}{-1}$ }
        \end{reponses}
    \end{multicols}
\end{question}

\begin{question}{PSangle}
    Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que
    \[
        ||\vec{u}|| = 5 \qquad ||\vec{v}|| = 8 \qquad \vec{u}.\vec{v} = -10
    \]
    Alors l'angle $(\vec{u}, \vec{v})$ vaut environ en radian

        \begin{reponseshoriz}
            \bonne{1.82}
            \mauvaise{-0.25}
            \mauvaise{1.31}
            \mauvaise{0.25}
        \end{reponseshoriz}
\end{question}

\begin{question}{PSlinear}
    Pour tout $x$ nombre réel, 
    \[
        2\cos\left(\dfrac{2x}{3} - \dfrac{\pi}{6}\right) 
    \]
    vaut
        \begin{reponses}
            \bonne{$\sqrt{3} \cos\left(\dfrac{2}{3}x\right) + \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right)$}
            \mauvaise{$\sqrt{3} \cos\left(\dfrac{2}{3}x\right) - \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right)$}
            \mauvaise{$\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right) + \sqrt{3}\sin \left(\dfrac{2}{3}x\right)$}
            \mauvaise{$\cos\left(\dfrac{2}{3}x\right) - \sqrt{3} \sin \left(\dfrac{2}{3}x\right)$}
        \end{reponses}
\end{question}

\begin{question}{lnFct}
    Soit $x$ un réel strictement positif. Alors $\ln(2x+2) - \ln(x+1)$ vaut
    \begin{multicols}{2}
        \begin{reponses}
            \bonne{$\ln(2)$}
            \mauvaise{$\ln(x+1)$}
            \mauvaise{$\dfrac{ln(2x+2)}{ln(x+1)}$}
            \mauvaise{$2$}
        \end{reponses}
    \end{multicols}
\end{question}

\begin{question}{lnEq}
    Sur $I=\intOO{0.5}{+\infty}$, l'équation 
    \[
        2\ln(2x-1) - \ln(x+5) = 0
    \]
    a 
    \begin{multicols}{2}
        \begin{reponses}
            \bonne{0 solution}
            \mauvaise{1 solution}
            \mauvaise{2 solutions}
            \mauvaise{On ne peut pas savoir}
        \end{reponses}
    \end{multicols}
\end{question}

\begin{question}{derivation}
    La dérivé de $f(x) = \dfrac{x^2+2}{x-1}$ est 
    \begin{multicols}{2}
        \begin{reponses}
            \bonne{$\dfrac{x^2-2x-2}{(x-1)^2}$}
            \mauvaise{$\dfrac{x^2-2x+2}{(x-1)^2}$}
            \mauvaise{$\dfrac{3x^2-2x-2}{(x-1)^2}$}
            \mauvaise{$\dfrac{3x^2+2x-2}{(x-1)^2}$}
        \end{reponses}
    \end{multicols}
\end{question}


\end{multicols}

\begin{question}{Derive}
    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
        On considère une fonction $f$ dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est tracée ci-contre:

        Parmi les trois courbes ci-dessous, laquelle est la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$?
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \includegraphics[scale=0.2]{./fig/f}
    \end{minipage}

    \begin{reponseshoriz}
        \mauvaise{\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fp1}}
        \mauvaise{\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fp2}}
        \bonne{\includegraphics[scale=0.4]{./fig/fp3}}
    \end{reponseshoriz}
\end{question}

\begin{question}{tableau}
    On considère la fonction $f$ dont le tableau de variation et le tableau de signe sont donnés ci-dessous.

            %\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
            %    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, -1, 0, 1, $+\infty$}
            %    \tkzTabVar{- / , +D+//, -/, +D-//, +/ }
            %\end{tikzpicture}
            %\hfill
            %\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
            %    \tkzTabInit[lgt=1,espcl=1]{$x$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$, $-1$, $0$, $2$, $+\infty$}
            %    \tkzTabLine{,+, d, +, d, -, z, +}
            %\end{tikzpicture}
    \includegraphics[scale=0.3]{./fig/tblx}

    Quelle courbe est susceptible de représenter $f$?
    \begin{multicols}{2}
    \begin{reponseshoriz}
        \mauvaise{\includegraphics[scale=0.25]{./fig/tbl1}}
        \mauvaise{\includegraphics[scale=0.25]{./fig/tbl2}}
        \bonne{\includegraphics[scale=0.25]{./fig/tbl3}}
        \mauvaise{\includegraphics[scale=0.25]{./fig/tbl4}}
    \end{reponseshoriz}
    \end{multicols}
\end{question}


\clearpage




\section*{Exercice sur feuille}
Les abeilles assurent la reproduction de plus des trois-quarts des espèces végétales du globe terrestre grâce à la pollinisation. Depuis une dizaine d'années, on constate une diminution du nombre de colonies d'abeilles à cause de l'évolution du climat et de l'utilisation d'insecticides pour protéger certaines cultures.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On observe une colonie constituée de \np{40000}~abeilles. On estime que, dans cette colonie, \np{1000}~abeilles naissent chaque jour et $500$ décèdent chaque jour de manière naturelle.

Déterminer, en justifiant, le nombre de jours nécessaires pour que la population de cette colonie atteigne les \np{50000}~individus.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Après ce premier temps d'observation, un insecticide est régulièrement pulvérisé dans le champ près  duquel les abeilles butinent.

On estime alors à 20\;\% la proportion d'abeilles de la colonie qui décèdent chaque jour à cause de cet insecticide. On suppose que le nombre de naissances et de décès de manière naturelle reste identique (\np{1000} naissances et $500$ décès de manière naturelle).
Pour tout entier naturel $n$, on note un le nombre d'individus de la colonie n jours après le début des pulvérisations de l'insecticide. On a donc $u_0 = \np{50000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
    \item On modélise cette situation par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

        \[u_{n+1} = 0,8u_n + 500.\]

        Calculer le nombre d'abeilles dans la colonie un jour après le début des pulvérisations.
    \item  On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n = u_n - \np{2500}$.
        \begin{enumerate}
            \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1} = 0,8v_n$.
            \item En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
            \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n = \np{47500} \times 0,8^n + \np{2500}$.
        \end{enumerate}
    \item  Des études ont montré qu'une colonie d'abeilles n'est plus en mesure d'assurer sa survie si elle compte moins de \np{5000}~individus.

        La colonie étudiée va-t-elle survivre ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\AMCaddpagesto{4} 
}   
\end{document}
