\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{DS 6}
\tribe{Terminale STI2D}
\date{13 février 2020}
\duree{1 heure}


\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\xsimsetup{
    solution/print = true
}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.

\begin{exercise}[subtitle={Éolienne}, points=7]
        Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct \Ouv{}, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives:\\
        $z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}i$ et 
        $z_{\text C} = 3\e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.

    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
        \begin{enumerate}
            \item Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A.
                \begin{enumerate}
                    \item Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$.
                    \item Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$.
                \end{enumerate}

            \item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$.

            \item On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que:

                \begin{list}{\textbullet}{}
                \item A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$
                \item B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$
                \item C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times \e^{i\frac{\pi}{2}}$
                \end{list}

                Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$;

            \item Les questions suivantes sont à justifier avec des résultats numériques et non un raisonnement graphique.
                \begin{enumerate}
                    \item Quelle est la nature du triangle $AOB$?
                    \item Calculer l'angle $\widehat{AOB}$.
                \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        \begin{flushright}
            \includegraphics[scale=0.25]{./fig/eolienne}
        \end{flushright}
    \end{minipage}

\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=6]
    \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.\\
        Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
        Aucune justification n'est demandée.\\
    Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}
    \begin{enumerate}
        \item On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction$f$ définie sur $\intOO{-\infty}{~1} \cup \intOO{1}{+\infty}$.

            \begin{minipage}{.5\textwidth}
                \begin{enumerate}
                    \item $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
                    \item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$
                    \item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$
                    \item $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$
                \end{enumerate}
            \end{minipage}
            \begin{minipage}{.5\textwidth}
                \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=.8]
                    \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                    ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
                    \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{0.25/(x-1)}
                    \tkzVLine[color=red,style=solid,line width=1.2pt]{1}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
        \item L'équation $\ln(x-2) = -2$ admet pour solution dans $\R$
            \begin{multicols}{4}
                \begin{enumerate}
                    \item $0$
                    \item $2 + \e^{-2}$
                    \item $2.14$
                    \item $2-\e^{2}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
        \item On considère la fonction $f$ définie sur $\intOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = \ln(x)$. La primitive $F$ de $f$ sur $\intOO{0}{+\infty}$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par:
            \begin{multicols}{2}
                \begin{enumerate}
                    \item $F(x) = x\ln(x) - 2x + 5$
                    \item $F(x) = x\ln(x) + 3$
                    \item $F(x) = \frac{3}{x}$
                    \item $F(x) = x\ln(x) - x + 4$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}

        \item On considère le nombre complexe $z = \frac{1}{2} \e^{-i \frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est 
            \begin{enumerate}
                \item Un nombre réel
                \item Un nombre complexe de partie réelle nulle
                \item Un nombre complexe de module 1
                \item Une nombre complexe de partie imaginaire positive
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Logo}, points=7]
    \parbox{0.63\linewidth}{Le logo utilisé par le conservatoire pour la communication est constitué de deux feuilles symétriques l'une de l'autre, dessinées ci-contre. }\hfill
    \parbox{0.33\linewidth}{\includegraphics[scale=0.2]{./fig/logo}}

    Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $f(x) = \dfrac{0,2}{x}$ et $g(x) = - x^2 + 0,2x + 1$.

    On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de ces fonctions tracées dans le repère orthonormé ci-
    dessous. 

    On admet que ces deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points. 

    \begin{center}
        \includegraphics[scale=0.25]{./fig/graph_logo}
    \end{center}

    La feuille gauche du logo correspond à la partie grisée du plan, délimitée par ces deux courbes. 

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Vérifier par le calcul que $0,2$ est une solution de l'équation $f(x) = g(x)$. 
        \item Déterminer graphiquement la seconde solution de cette équation.\item 
            \begin{enumerate}
                \item Interpréter graphiquement l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0,2}^1 g(x) \:\text{d}x$. 
                \item Donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-2}$ près. 
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $F(x) = \dfrac{1}{5} \ln (x)$ est une primitive sur l'intervalle [0,1~;~1,25] de la fonction $f$. 
                \item Calculer la valeur exacte de $J =\displaystyle\int_{0,2}^1 f(x) \:\text{d}x$.  
            \end{enumerate}
        \item  \textit{Dans cette question, toute trace de recherche (schéma, calculs, explications...) même incomplète sera valorisée} \\
            On admet que la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle [0,2~;~1]. 

            L'unité choisie sur chacun des axes est de 2,5 cm. 

            En déduire, au cm$^2$ près, une valeur approchée de l'aire totale du logo. 
    \end{enumerate} 
\end{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

