\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Probabilité conditionnelle - Annales}
\tribe{Terminale ES}
\date{Novembre 2019}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Aéroport}]
Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.
On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.
\begin{itemize}
\item $S$ l'événement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
\item $M$ l'événement \og le voyageur porte un objet métallique \fg{}.
\end{itemize}
On considère qu'un voyageur sur 500 porte sur lui un objet métallique. Et on note que
\begin{itemize}
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
\end{itemize}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}(\overline{S})$.
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre illustrant cette situation.
\item Montrer que: $P(S)=\np{0,02192}$.
\item En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$.)
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{tikzpicture}[sloped]
\node {.}
child {node {$M$}
child {node {$S$}
edge from parent
node[above] {...}
}
child {node {$\overline{S}$}
edge from parent
node[above] {...}
}
edge from parent
node[above] {...}
}
child[missing] {}
child { node {$\overline{M}$}
child {node {$S$}
edge from parent
node[above] {...}
}
child {node {$\overline{S}$}
edge from parent
node[above] {...}
}
edge from parent
node[above] {...}
} ;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Sponsort}]
Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de
traversée de l'Atlantique à la voile.
\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}
Une entreprise nommée \og Régate \fg, s'intéresse aux résultats de ce navigateur.
La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.
Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.
Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.
On note $M$ l'évènement \og la traversée est réalisée par le navigateur en moins de 6 jours \fg et $F$ l'évènement \og l'entreprise sponsorise le navigateur \fg.
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la
prochaine course est $0,428$.
\item L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins
de $6$ jours.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Paiements}]
Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent
régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de
la transaction est inférieur ou égal à 30~\euro) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant
de la transaction).
Il remarque que 80\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro. Parmi eux :
\begin{itemize}
\item 40\,\% paient en espèces;
\item 40\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
\item les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
\end{itemize}
Et que 20\,\% de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30~\euro. Parmi eux :
\begin{itemize}
\item 70\,\% paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
\item les autres paient en espèces.
\end{itemize}
On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.
On considère les évènements suivants :
$V$ : \og le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30~\euro \fg ;
$E$ : \og le client a réglé en espèces\fg ;
$C$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret\fg ;
$S$ : \og le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact \fg.
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant
$V$ notée $P_V(S)$.
\item Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à $30$~\euro{} et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement: \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte
bancaire en utilisant l'un des deux modes\fg{} est égale à $0,62$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}