\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

% Title Page
\title{DS 5}
\tribe{1ST}
\date{17 janvier 2020 \hfill 40minutes}

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 solution/print = false
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\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

\begin{exercise}[subtitle={Lave vaiselle}, points=6]
    Une étude a été menée sur les acheteurs de lave vaisselle. Cette étude montre que après un achat, 10\% des acheteurs ramènent le lave vaisselle pour se faire rembourser.

    On choisit au hasard un acheteur.

    On note $A$ l'évènement: "le propriétaire ramène le lave vaisselle pour se faire rembourser."

    On note $p$ la probabilité de l'évènement $A$.

    \begin{enumerate}
        \item Donner la valeur de $p$.
        \item Montrer que cette expérience aléatoire correspond à une épreuve e Bernoulli et donner, sous forme d'un tableau, la loi associée.
    \end{enumerate}

        On choisit à présent au hasard 3 acheteurs. On admet que ce correspond  à reproduire 3 fois l'expérience précédente dans des conditions identiques et indépendantes. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de client qui ramène leur lave vaisselle.

    \begin{enumerate}[resume]
        \item Représenter cette expérience par un arbre de probabilité. 
        \item Calculer la probabilité qu'aucun acheteur n'ai rapporté sa machine à laver pour se faire rembourser. On arrondira le résultat au centième.
        \item Calculer la probabilité que plus de 2 acheteurs aient rapporté leur machine pour se faire rembourser. On arrondira le résultat au centième.
        \item Calculer $P(X\leq1)$
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item D'après l'énoncé $p=10\% = 0.1$
        \item Cette expérience est une expérience de Bernoulli car il y a 2 issues possibles: l'acheteur ramène le lave vaisselle (succès) ou pas (échec).
            \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|c|c|}
                \hline
                Issues & Ramène (1) & Garde (0) \\
                \hline
                Probabilite & 0.1 & 0.9 \\
                \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
        \item Chaque acheteur a 2 choix: ramener ou non donc chaque étage de notre arbre a 2 branches. Comme il y a 3 acheteurs, cela revient à reproduire 3 fois l'expérience donc l'arbre a 3 étages.

            Dans l'arbre, on note $A$ si le propriétaire ramène le lave vaisselle, et $\bar{A}$ sinon. 

            \begin{tikzpicture}[yscale=0.8]
                \node {$\bullet$} 
                child {node {$A$}
                    child {node {$A$}
                        child {node {$A$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.1}
                        }
                        child[missing] {}
                        child {node {$\bar{A}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.9}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.1}
                    }
                    child[missing] {}
                    child[missing] {}
                    child {node {$\bar{A}$}
                        child {node {$A$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.1}
                        }
                        child[missing] {}
                        child {node {$\bar{A}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.9}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.9}
                    }
                    edge from parent
                    node[above] {0.1}
                }
                child[missing] {}
                child[missing] {}
                child[missing] {}
                child[missing] {}
                child[missing] {}
                child {node {$\bar{A}$}
                    child {node {$A$}
                        child {node {$A$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.1}
                        }
                        child[missing] {}
                        child {node {$\bar{A}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.9}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.1}
                    }
                    child[missing] {}
                    child[missing] {}
                    child {node {$\bar{A}$}
                        child {node {$A$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.1}
                        }
                        child[missing] {}
                        child {node {$\bar{A}$}
                            edge from parent
                            node[above] {0.9}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {0.9}
                    }
                    edge from parent
                    node[above] {0.9}
                }
                ;
            \end{tikzpicture}
        \item Probabilité qu'aucun acheteur n'ai ramené le lave vaisselle ($X=0$).

            C'est la branche la plus à droite.
            \[
                P(X=0) = 0.9\times 0.9\times 0.9 =0.729

            \]
        \item 
            \[
                P(X\geq2) = P(X=2) + P(X=3) = 3\times 0.1\times0.1\times 0.9 + 0.1\times 0.1\times 0.1 = 0.028
            \]
        \item 
            \[
                P(X\leq1) = P(X=0) + P(X+1) = 0.9^3 + 3\times0.1\times0.9^2 = 0.972
            \]
            On aurait pu aussi faire
            \[
                P(X\leq1) = 1 - P(X\geq2) = 1 - 0.028 = 0.972
            \]
    \end{enumerate
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Nombre de malades}, points=6]
    Une épidémie a frappé les habitants d'une ville. On s'intéresse à la progression de cette épidémie en fonction du temps. On modélise cette évolution à l'aide d'une fonction $f$ définie sur $\intFF{0}{30}$ que l'on a tracer sa représentation graphique $\mathcal{C}_f$ ci-dessous.
    Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ aux points $A(4;400)$, et $B(27;2200)$ sont également tracées.

    \begin{tikzpicture}[yscale=.35, xscale=0.5]
        \tkzInit[xmax=32,xstep=1,
        ymax=4500,
        ystep=200]
        \tkzAxeX[right]
        \tkzAxeY[above]
        \tkzGrid
        \tkzFct[color=red,domain=0:32, very thick]{-x**3+30*x**2}

        \tkzFct[color=black,domain=0:14, very thick]{192*(x-4)+416}
        \draw (4,2) node {$\times$} node [above left] {$A$};

        \tkzFct[color=black,domain=22:30, very thick]{-567*(x-27)+2187}
        \draw (27,11) node {$\times$} node [above right] {$B$};
    \end{tikzpicture}


    Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes.
    \begin{enumerate}
        \item Quelle est la valeur de $f(27)$? Que signifie cette valeur?
        \item Lire graphiquement la valeur de $f'(27)$.
        \item Calculer le taux de variation de $f$ entre 4 jours et 16 jours. Que signifie cette valeur?
        \item Au bout de combien de jours, l'épidémie a atteint son maximum? Combien y avait-il alors de malades?
        \item Déterminer le nombre de jours durant lesquels le nombre de malades est supérieur ou égal à 25\% du pic de l'épidémie.
        \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 3400$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item $f(27) = \np{2400}$. Cela signifie que au bout de 27 jours, il y avait \np{2400} malades.
        \item $f'(27) = -600$ (quand on se déplace de 1 à droite, on descend de 3 graduations pour atteindre la tangente et 3 graduations font 600).
        \item 
            \[
                \frac{f(16)-f(4)}{16-4} = \frac{3600 - 400}{16-4} = 266
            \]
            Cela signifie qu'entre le 4e et le 16e jours, il y a eu en moyenne 266 nouveaux malades par jour.
        \item Le maximum a été atteint en 20jours avec \np{4000} malade.
        \item 25\% du pic correspond à 25\% de \np{4000} soit \np{1000} malade.

            On remarque que l'on atteint \np{1000} malades à 6,5jours et qu'on repasse en dessous à 28,5jours soit environ 22 jours.
        \item $f(x) = 3400$ pour $x = 15$ et $x = 24$.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

