\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}

\title{DS 4}
\tribe{Terminale STI2D}
\date{18 décembre 2019}
\duree{1 heure}

\begin{document}
\maketitle

Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.

Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.

\begin{exercise}[subtitle={QCM}, points=4]
    \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse n'ajoutent ni ne retirent aucun point.\\
        Inscrire sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
    Aucune justification n'est demandée.}
    \begin{enumerate}
        \item Le nombre $-3$ est solution de l'équation
            \begin{tasks}(4)
                \task $\ln(x) = -\ln(3)$
                \task $\ln(e^{x}) = -3$
                \task $e^{ln(x)} = 3$
                \task $e^x = 3$
            \end{tasks}
        \item Une variable aléatoire  $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle $\intFF{2}{12}$. $P(X\geq 5)$ est égale à
            \begin{tasks}(4)
                \task $\dfrac{1}{2}$
                \task $\dfrac{3}{10}$
                \task $\dfrac{5}{12}$
                \task $\dfrac{5}{7}$
            \end{tasks}
        \item $(4i-2)(3i+1)$ est égale à 
            \begin{tasks}(4)
                \task $-14 - 2i$
                \task $10i - 2$
                \task $10 - 2i$
                \task $10 - 10i$
            \end{tasks}
        \item La forme factorisée de $xe^{-0.2x} - (3+2x)e^{-0.2x}$ est 
            \begin{tasks}(4)
                \task $(-3+3x)e^{-0.2x}$
                \task $2e^{-0.2x}(-3+3x)$
                \task $(-3+x)e^{-0.2x}$
                \task $2e^{-0.2x}$
            \end{tasks}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Température intérieur}, points=12]
    En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à $20^{o}$C. 

    La température extérieure est notée $T$ .  Dans tout l'exercice, on suppose que $T < 20$ .  Température intérieure initiale $20^{o}$C 

    Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur. 

    On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ désigne la température intérieure de la maison $n$ heures après la coupure du chauffage. 

    Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure $T$ constante, on admet que, pour tout entier naturel $n$ : 

    \[u_{n+1} = 0,99 u_n + \dfrac{T}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20.\] 

    Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

    \textbf{Partie A}

    On suppose que la température extérieure $T$ est égale à 0~\degres C. On a donc $T = 0$. 

    \begin{enumerate}
        \item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$. 
        \item Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
        %\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 
        \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Justifier. 
        \item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n < 5$. En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5~\degres C. 
    \end{enumerate}

    \textbf{Partie B}

    On suppose que la température extérieure $T$ est égale à $-10$~\degres C. On a donc $T = - 10$. 

    \begin{enumerate}
        \item Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par: 
            \[u_{n+1} = 0,99 u_n - 0,10 \quad  \text{et }\: u_0 = 20.\] 
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$. 
                \item Dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse. 
                \item On définit $(v_n)$ par $v_n = u_n + 10$. Démontrer que l'on a alors
                    \[
                        v_{n+1} = 0.99 v_n
                    \]
                \item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$? Quels sont les éléments caractéristiques?
                \item Exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$.
                \item En déduire que 
                    \[
                        u_n = 30\times 0.99^n - 10
                    \]
                \item Quelle est la limite de $u_n$?
            \end{enumerate}
        \item ~

            \parbox{0.73\linewidth}{%
            On souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, le nombre d'heures à partir duquel la température intérieure devient strictement inférieure à $5$~\degres C. On utilise pour cela l'algorithme incomplet ci-contre dans lequel $U$ désigne un nombre réel et $N$ un nombre entier naturel.%

            \medskip
                Recopier et compléter l'algorithme. 
        }\hfill
            \parbox{0.25\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
                    $U \gets 20$\\
                    $N \gets 0$\\ 
                    Tant que \ldots\\
                    \hspace{0.4cm} $U \gets \ldots$\\
                    \hspace{0.4cm} $N \gets \ldots$\\
                    Fin Tant que \\ \hline
            \end{tabularx}}

    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Système de climatisation}, points=3]
    Dans cet exercice, on s'intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure.

    Conformément à l'usage commercial, on appelle capacité la charge complète d'une batterie.

    On dispose des renseignements suivants :

    \framebox{%
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
        \textbf{Document 1:\\ Caractéristiques des bornes de recharge}

        {\small
        \begin{tabular}{|*{3}{p{1.3cm}|}}
            \hline
            Recharge & Tension (V) & Intensité (A)\\
            \hline
            Normal & 230 & 16 \\
            \hline
            Semi-rapide & 400 & 16\\
            \hline
            Rapide & 400 & 63\\
            \hline
        \end{tabular}
    }
    \end{minipage}}
    \hfill
    \framebox{%
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \textbf{Document 2: \\
    Exemple de capacités de batterie}

        {\small
            \begin{itemize}
                \item Marque A: 22kWh
                \item Marque B: 24kWh
                \item Marque C: 33kWh
                \item Marque D: 60kWh
            \end{itemize}
    }
    \end{minipage}}
    \hfill
    \framebox{%
    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
        \textbf{Document 3: \\Bon à savoir pour une batterie vide}

        {\small
            Après 50\% de temps de charge complète, la batterie est à environ 80\% de sa capacité de charge
    }
    \end{minipage}}


    \begin{enumerate}
        \item La puissance de charge P d'une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s'obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A).

            Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d'une batterie vide, exprimé en heure (h), s'obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW).

            On considère une batterie de la marque D.

            Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de recharge \og Rapide \fg. Exprimer le résultat en heures et minutes.

        \item  Lors du branchement d'une batterie vide de marque A sur une borne de recharge de type \og Normal \fg, la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$:

            \[ f(t) = -22 e^{-0.55t} + 22 \]

            \begin{minipage}{0.6\linewidth} 
                \begin{enumerate}
                    \item On a tracer la courbe représentative de $f$ ci-contre.
                        Quelle semble être la limite de $f$ quand $x$ tend vers plus l'infini?
                    \item  La durée de demi-charge est le temps nécessaire pour que la batterie soit chargée à 50\,\%. Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(t) = 11$ et en déduire la durée d'une demi-charge, exprimée en heure et minute.
                    \item (bonus) Dans la pratique, on considère que le temps de charge complète de ce type de batterie est d'environ 6 heures.

                        Vérifier l'affirmation 3
                \end{enumerate}
            \end{minipage}
            \hfill
            \begin{minipage}{0.3\linewidth} 
                \begin{tikzpicture}[yscale=0.4, xscale=.4]
                    \tkzInit[xmin=0,xmax=12,xstep=1,
                    ymin=0,ymax=26,ystep=2]
                    \tkzGrid
                    \tkzAxeXY%[up space=0.5,right space=.5]
                    \tkzFct[domain = 0:12, line width=1pt]{-22*exp(-0.55*x)+22}
                    \tkzText[draw,fill = brown!20](8,15){$f(x)$}
                \end{tikzpicture}
            \end{minipage}
            \hfill

    \end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

