\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\title{DM 1 -- MARQUET Elisa}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{15 novembre 2019}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

Une part importante de la note sera dédiée à la rédaction, aux explications et à l'utilisation des notations mathématiques.

\begin{exercise}[subtitle={Débit}]
    Une commune de \np{2000} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 9\,\% tous les ans. 

    Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$.

    \smallskip

    \begin{enumerate}
        \item Déterminer la nature de la suite $(h_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $h_n$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}

    \smallskip

    La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{18000}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de - 1.3700\,\% par an. 

    Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$. 

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{1}
        \item Déterminer la nature de la suite $(d_n)$, préciser ses éléments caractéristiques et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}

    On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle. 

    Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$  et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$. 
    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{2}
        \item Calculer $u_0$ et $u_1$. 
        \item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 9 \times 0.93^n$. 
        \item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques. 
        \item Déterminer le sens de variations de la $\left(u_n\right)$. 
            Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. 
    \end{enumerate}
    Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau. 

    \begin{enumerate}
        \setcounter{enumi}{6}
        \item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie? 
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Augmenter de 9\% revient à multiplier pas 1.09. La suite $(h_n)$ est donc géométrique de raison 1.09 et de premier terme 2000. On en déduit $h_n$ en fonction de $n$
            \[
                h_n = 2000\times 1.09^n
            \]
        \item Augmenter de - 1.3700\% revient à multiplier pas 1.0137. La suite $(d_n)$ est donc géométrique de raison 1.0137 et de premier terme 18000. On en déduit $d_n$ en fonction de $n$
            \[
                d_n = 18000\times 1.0137^n
            \]
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item
                    \[
                        u_0 = \frac{d_0}{h_0} = \frac{18000}{2000} = 9
                    \]
                    \[
                        u_1 = \frac{d_1}{h_1} = \frac{18246.6000}{2180} = 8.37
                    \]
                \item Démonstration de la formule
                    \begin{eqnarray*}
                        u_n &=& \frac{d_n}{h_n} = \frac{18000\times1.0137^n}{2000\times1.09^n} \\
                        u_n &=& \frac{18000}{2000}\times\left(\frac{1.0137}{1.09}\right)^n \\
                        u_n &=& 9\times0.93^n
                    \end{eqnarray*}
                \item On reconnaît la forme d'une suite géométrique de raison 0.93 et de premier terme 9.
                \item La raison, $q = 0.93$, est inférieur à 1 donc la suite est décroissante. Ce qui signifie que le débit par habitant va diminuer.
            \end{enumerate}
        \item Avec le tableau de la calculatrice, on calculer les valeurs de $u_n$ jusqu'à passer en dessous de 5. On trouve $n = 9$ avec $u_{9} = 4.683699746896385637$

    \end{enumerate}
\end{solution}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    \section*{Partie A}
    Dans cette partie, on étudie la fonction
    \[
        f(x) = - 8x^2 - 9x - 1
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer la dérivé de $f$.
        \item Étudier le signe de la dérivée $f'$ puis en déduire le tableau de signe de $f$.
    \end{enumerate}
    \section*{Partie B}
    Dans cette partie, on étudie la fonction
    \[
        g(x) = 6x^3 + 5x^2 - x + 5
    \]
    \begin{enumerate}
        \item À l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur, tracer puis reporter sur votre copie la représentation graphique de $g$ en y indiquant les informations remarquables de ce graphique.
        \item Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est convexe? concave? Y a-t-il des points d'inflexions?
        \item Calculer la dérivé de $g$.
        \item Étudier le signe de la dérivée $g'$ puis en déduire le tableau de variations de $g$.
        \item Déterminer l'équation de la tangente en $x=0$.
        \item Dériver $g'$ pour calculer $g''$.
        \item Étudier le signe de $g''$ pour en déduire la convexité de $g$ grâce au calcul puis localiser précisément le point d'inflexion.
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
    \section*{Partie A}
    \begin{enumerate}
        \item $- 9 - 16x$
        \item Correction non disponible
    \end{enumerate}

    \section*{Partie B}
    \begin{enumerate}
        \item Correction non disponible
        \item Correction non disponible
        \item $g'(x) = - 1 + 10x + 18x^2$
        \item 
            On commence par calculer le discriminant de $g'(x)=- 1 + 10x + 18x^2$.
\begin{eqnarray*}
    \Delta & = & b^2-4ac \\
    \Delta & = & 10^{2} - 4 \times 18 \times - 1 \\ 
\Delta & = & 100 - 72 \times - 1 \\ 
\Delta & = & 100 + 72 \\ 
\Delta & = & 172
\end{eqnarray*}

comme $\Delta = 172 > 0$ donc $P$ a deux racines

\begin{eqnarray*}
    x_1 & = & \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{10 - \sqrt{172}}{2 \times 18} = - 0.6420799180167778 \\
    x_2 & = & \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} =  \frac{10 + \sqrt{172}}{2 \times 18} = 0.08652436246122225
\end{eqnarray*}
Ainsi, $g'$ est du signe de $a=18$ en dehors des racines.


            Le tableau de variation non disponible en correction
        \item Équation de la tangente: $y = - 1x + 5$
        \item $g''(x) = 36x + 10$
    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}

%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: "master"
%%% End: