\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Notion d'intégrale}
\tribe{Terminale TESL}
\date{Janvier 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\setcounter{section}{3}
\section{Point de vue intégrale de la loi uniforme}

\subsection*{Rappels}

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur $\intFF{a}{b}$. Alors pour tout nombre $c$ et $d$ de l'intervalle $\intFF{a}{b}$ tels que $c \leq d$on a
\[
    P(c\leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}
\]
Ce calcul est justifié par le rapport entre la longueur du segment où $X$ peut prendre ses valeurs (segment $[AB]$) et la longueur du segment des valeurs "intéressantes" (segment $[CD]$).

\subsection*{Un autre point de vue}

On peut associer à $X$ une fonction $f$ constante sur $\intFF{a}{b}$ telle que
\[
    f(x) = \frac{1}{b-a}
\]
Alors la calcul de probabilité vu plus haut peut s'interpréter comme le calcul d'une aire sous la courbe et donc d'une intégrale:

\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\[
    P(c\leq X \leq d) = \int_c^d f(x) dx = \frac{1}{b-a} \times (c-d)
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
    \begin{tikzpicture}[scale=1.5]
        \tkzInit[xmin=0,xmax=3.3,xstep=1,
        ymin=0,ymax=2,ystep=1]
        \tkzDrawXY
    \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\subsection*{Définition}
Cette fonction $f$ est appelée \textbf{la fonction densité de $X$} et doit vérifier
\[
    \int_a^b f(x) dx = 1
\]
Ce qui s'interprète comme la probabilité d'avoir un nombre compris entre $a$ et $b$ doit être égal à 1.




\end{document}