\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\pagestyle{empty}


\title{Algorithme et suite}
\date{Décembre 2019}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Démonstration de la limite de $q^n$}]
    Dans cet exercice, on souhaite démontrer que 
    \[
        \mbox{Si } q>1 \mbox{ alors } \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = +\infty
    \]
    Soit $q > 1$ donc il existe $a > 0$ tel que $q = 1 + a$.
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que $q^2 > 1 + 2a$
        \item En déduire que $q^3 > 1 + 3a$
        \item En déduire que $q^4 > 1 + 4a$
        \item On a vu que pour démontrer les inégalités, on utilisait l'égalité précédente. On va vouloir généraliser cette façon pour toutes les inégalités. Autrement dit, on va supposer que 
            \[
                q^n > 1 + n\times q \qquad \mbox{ est vraie.}
            \]
            Et vous devez démontrer que 
            \[
                q^{n+1} > 1 + (n+1) q \qquad \mbox{ est vraie.}
            \]
            
            Ainsi, l'égalité est vraie quand $n=2$ et on sait que \textbf{si} elle est vraie pour $n$ \textbf{alors} elle est vraie pour $n+1$, on peut donc en déduire qu'elle est vraie pour tout $n$. C'est ce que l'on appelle un raisonnement par récurrence.
            \item Déterminer 
                \[
                    \lim_{n\rightarrow+\infty} 1 + n\times q
                \]
            \item En déduire
                \[
                    \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n
                \]

    \end{enumerate}
    Un raisonnement similaire peut être réalisé pour démontrer
    \[
    \mbox{Si } q\in \intOO{0}{1} \mbox{ alors } \lim_{n\rightarrow+\infty} q^n = 0
    \]
\end{exercise}

\vfill
\printexercise{exercise}{1}
\vfill

\end{document}