\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Recherche de limite de suite - Limites}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{Décembre 2019}

\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Avec la calculatrice}]
    Déterminer grâce à la calculatrice la limite de chacune des suites géométriques suivantes.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $u_0 = -2$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
            \item $v_0 = 2$ et $w_{n+1} = 1.1w_n+1$
            \item $w_n = 3n^3 - 10n^2 + 1$
            \item $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
            \item $v_0 = -4$ et $v_{n+1} = 0.9v_n + 1$
            \item $w_n = -2n^3 + 100n^2$
            \item $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
            \item $v_0 = -4$ et $v_{n+1} = 0.9v_n + 1$
            \item $w_n = -2n^3 + 100n^2$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
    Classer les suites précédentes en fonction de leurs limites et établir les règles pour connaître la limite des suites géométriques.
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Limite d'une suite}]
    Retrouver les limites des suites suivantes sans utiliser la calculatrice.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $u_0 = 6$ et $u_{n+1} = 2u_n$
            \item $(u_n)$ géométrique telle que $u_0=10$ et $q=0.5$
            \item $u_{n} = 1 + 0.5^n$
            \item $u_{n} = 4 + 1.5^n$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Utilisateurs d'une machine à café}]
    Au premier janvier, on comptait \np{60000} utilisateurs d'une machine à café. On estime que chaque mois, 10\% des propriétaires cessent de l'utiliser mais on compte \np{24000} nouveaux utilisateurs.
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item Expliquer pourquoi le nombre d'utilisateur de cette machine à café $n$ mois après le premier janvier 2017 peut être modélisé par la suite $(u_n)$ définie par 
                \[
                    u_0 = \np{60000} \quad \mbox{ et } u_{n+1} = 0.9u_n + \np{24000}
                \]
            \item Pourquoi la suite $(u_n)$ n'est elle pas géométrique?
            \item Conjecturer la limite de cette suite $(u_n)$.
            \item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entiers naturel $n$ par $v_n = u_n -\np{240000}$. On admet que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0.9 et de premier terme -\np{180000}. Démontrer que pour tout $n$ on a $v_n = -\np{180000}\times 0.9^n$.
            \item Quelle est la limite de la suite $(v_n)$?
            \item Démontrer que pour tout entier $n$, $u_n = \np{240000} - \np{180000}\times0.9^n$
            \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\printexercise{exercise}{3}


\end{document}