\collectexercises{banque} \begin{exercise}[subtitle={Intégrale et aire}, step={1}, topics={Integration}] Calculer les intégrales suivantes \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\displaystyle \int_1^6 5t dt $ \item $\displaystyle \int_{-10}^5 t dt $ \item $\displaystyle \int_{100}^{200} \frac{1}{2} t dt $ \item $\displaystyle \int_1^6 5 dt $ \item $\displaystyle \int_{3}^{10} 1 dx $ \item $\displaystyle \int_{0}^{110} 0,3x dx $ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Calculer des aires}, step={2}] \begin{enumerate} \item On veut calculer la quantité $\ds \int_2^3 3x^2 - 12x +14 dx$. \begin{enumerate} \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 3x^2 - 12x +14$? \[ F(x) = 6x^3 + 4x^2 - 5x + 10 \qquad F(x) = -3x^3 + 4x^2 - 5x + 1 \qquad F(x) = x^3 - 6x^2 + 14x + 1 \qquad \] \item Calculer $\ds \int_2^3 3x^2 - 12x +14 dx$ \end{enumerate} \item On veut calculer la quantité \begin{enumerate} \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 6x^2 + 4x -5$? \[ F(x) = x^6 + x^2 - 5x + 1 \qquad F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 5x + 10 \qquad F(x) = 6x^3 + 4x^2 - 5x \qquad \] \item Calculer $\ds \int_1^{10} 6x^2 + 4x - 5 dx$ \end{enumerate} \item On veut calculer la quantité $\ds \int_1^{10} 12x^3 - x - 1 dx$ \begin{enumerate} \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = 12x^3 - x - 1$? \[ F(x) = 3x^4 - 0.5x^2 - x \qquad F(x) = x^4 - 2x^2 - x + 2 \qquad F(x) = \dfrac{12}{4}x^4 - \dfrac{1}{2}x^2 - x \qquad \] \item Calculer $\ds \int_1^{10} 12x^3 - x - 1 dx$ \end{enumerate} \item On veut calculer la quantité $\ds \int_{-1}^{1} e^x + 10x + 1 dx$ \begin{enumerate} \item Parmi les fonctions suivantes laquel est une primitive de $f(x) = e^x + 10x + 1$? \[ F(x) = e^x + 5x^2 - x + 1 \qquad F(x) = e^x + 5x^2 + x + 10 \qquad F(x) = e^x + 10x^2 - 2x \qquad F(x) = e^x + 5x^2 - x + 5 \qquad \] \item Calculer $\ds \int_{-1}^{1} e^x + 10x + 1dx$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Calculs de primitives}, step={3}] Calculer les primitives des fonctions suivantes. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $f(x) = 9x^2 - 2x + 2$ \item $f(x) = 2 + 5x - 15x^2$ \item $f(x) = 5x^3 + 2x^2 + 1$ \item $f(x) = (2x+1)^2$ \item $f(x) = e^x + 5e^x + 1$ \item $f(x) = \dfrac{1}{x^2} + 4$ \item(*) $f(x) = \dfrac{3}{x^2} - x$ \item(*) $f(x) = \dfrac{x^3 + 2x^2 + 1}{x}$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Calculs de primitives - exponentielle}, step={3}] Calculer les primitives des fonctions suivantes. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $f(x) = 2e^{2x+1}$ \item $f(x) = 0.1e^{0.1x-19}$ \item $f(x) = 6e^{2x+1}$ \item $f(x) = (2x+1)e^{x^2+x+2}$ \item(*) $f(x) = 2e^{0.5x+1} - e^{-0.5x+2}$ \item(*) $f(x) = (x-2)e^{x^2 - 4x}$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Calculer une intégrale}, step={4}] On souhaite calculer plusieurs intégrales de la fonction $f(x) =3x^2 + 4x - 1$ \begin{enumerate} \item Calculer un primitive de $f$. \item Représenter graphiquement les quantités suivantes puis les calcules. \[ \int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad \int_{2}^3 f(x) \;dx \qquad \] \item Représenter graphiquement la quantité $\ds \int_{1}^3 f(x) \;dx$ et déduire sa valeur à partir de la questions précédente \item (*) Quelle formule peut-on conjecturer des deux questions précédentes? (si vous êtes pas trompé, cette formule s'appelle la relation de Chasles). \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Calculs d'intégrales}, step={4}] Calculer les valeurs suivantes \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $\ds A = \int_1^2 9x^2 - 2x + 2\; dx$ \item $\ds B = \int_3^4 5x^3 + 2x^2 + 1\; dx$ \item $\ds C = \int_0^{10} (2x+1)^2\; dx$ \item(*) $\ds D = \int_0^{10} 0.5e^{0.5x+1}\; dx$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Propriétés de l'intégrales}, step={4}] Dans cet exercice, le calcul de plusieurs intégrales devrait vous permettre d'intuiter les propriétés de l'intégrale (du même type de la relation de Chasles dans le premier exercice). \begin{minipage}{0.5\textwidth} Pour cela, on va s'intéresser aux deux fonctions suivantes (représentée ci-contre) \[ f(x) = 2x - 4 \qquad \qquad g(x) = x^2 - 6x + 11 \] \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\textwidth} \begin{tikzpicture}[yscale=0.3, xscale=1.2, domain=-1:6] \tkzInit[xmin=-1,xmax=6,xstep=1, ymin=-4,ymax=7,ystep=1] \tkzGrid \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2] \tkzFct{2*x-4} \tkzFct{(x-3)*(x-3)+2} %\draw plot[id=g] function {(x-3)*(x-3)+2} node[right] {$g(x)$}; \end{tikzpicture} \end{minipage} \begin{enumerate} \item Influence du signe de la fonction \begin{enumerate} \item Calculer les quantités suivantes \[ \int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad \qquad \int_3^4 g(x) \;dx \] \item Quel est le signe de $f(x)$ sur $\intFF{1}{2}$ puis sur $\intFF{3}{4}$? \item Que peut-on conjecturer sur le lien entre le signe de la fonction et le signe de l'intégrale? \end{enumerate} \item Croissance de l'intégrale Pour les questions qui suivent on définira \[ h(x) = f(x) - g(x) \] \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $h(x)$ et en déduire l'intervalle sur lequel on a $f(x) \geq h(x)$. \item Calculer les quantités suivantes \[ \int_3^5 h(x) \;dx \] \item En déduire, la comparaison des quantités suivantes \[ \int_3^5 f(x) \;dx \qquad \qquad \int_3^5 g(x) \;dx \] \item Que peut-on conjecturer de la questions (a) et (c)? \end{enumerate} \item Aire entre deux courbes. \begin{enumerate} \item Représenter sur le graphique la quantité \[ \int_3^5 f(x) \;dx - \int_3^5 g(x) \;dx \] \item En déduire, une méthode pour calculer l'aire contenue entre 2 courbes. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Encore d'actualité}, step={5}] Dans un précédent exercice, on avait étudié le nombre de personnes infecté au Covid-19 en France. Les quantités qui suivent sont tirés de cet exercice et grossièrement arrondis. Dans l'exercice présent, nous allons étudier le nombre de nouveaux cas à partir du premier mars suivant deux modèles: un discret (avec une suite) et un continu (avec un fonction). \begin{enumerate} \item \textbf{Modèle discret}: Le nombre de nouveaux cas quotidiens est modélisé par une suite géométrique $(u_n)$ de premier terme 26 et de raison 1,22. $n$ désigne le nombre de jour après le premier mars. \begin{enumerate} \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item Combien de nouveau cas peut-on compter au 5mars ($u_4$)? Au 10 mars? \item Tracer la représentation graphique de $u_n$ pour $n$ allant de 0 à 10 (l'axe des abscisses ira de 0 à 200). \item Combien de nouveau cas peut-on compter entre le premier mars et le 10 mars (compris)? \item Interpréter ce résultat en terme d'aire sur le graphique. \item Quelle a été la moyenne du nombre de nouveaux cas entre le premier et le 10 mars? \end{enumerate} \item \textbf{Modèle continue}: Le nombre de nouveaux cas quotidiens est modélisé par la fonction suivante (obtenu par prolongement continue le la suite $(u_n)$) \[ f(x) = 26 e^{0.2x} \] \begin{enumerate} \item Tracer la représentation graphique de la fonction $f(x)$. \item Représenter graphiquement le nombre de cas total entre le premier et le 10 mars (compris). \item Calculer cette quantité. \item Quelle a été la moyenne du nombre de nouveaux cas entre le premier et le 10 mars? \end{enumerate} \item (*) Proposer une façon de calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={valeur moyenne}, step={5}] Calculer la valeur moyenne des fonctions ci-dessous suivant l'intervalle considéré \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item $f(x) = 2x^2 + 4x - 1$ sur $I = \intFF{2}{3}$ \item $g(x) = 4x^3 - 2x^2 + 1$ sur $I = \intFF{0}{10}$ \item $h(x) = (2x-1)^2$ sur $I = \intFF{0}{0.5}$ \item $i(x) = 0,5e^{-0,5x}$ sur $I = \intFF{0}{10}$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Fonction à densite}, step={6}] Déterminer, dans les cas suivant, si la fonction $f$ est une fonction à densité. \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $f(x) = 3x^2$ sur $\intFF{0}{1}$ \item $f(x) = -3x^2$ sur $\intFF{-1}{0}$ \item $f(x) = \dfrac{2}{x^2}$ sur $\intFF{1}{2}$ \item $f(x) = 0,5 - x$ sur $\intFF{-1}{1}$ \item $f(x) = e^x$ sur $\intFF{0}{\ln(1)}$ \item $f(x) = e^x$ sur $\intFF{0}{\ln(2)}$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Loi uniforme}, step={6}] Soit $X$ une variable aléatoire sur $\intFF{0}{5}$ que l'on associe à la fonction $f(x) = 0.2$ \begin{enumerate} \item Calculer \[ \int_0^5 f(x) \; dx \] Est-ce que la fonction $f$ est une fonction de densité sur $\intFF{0}{5}$? \item Tracer sur la calculatrice la courbe représentative de $f$ sur $\intFF{0}{5}$. Et recopier l'allure de cette courbe. \item Calculer les probabilités suivantes en représentant à chaque fois sur le graphique ce à quoi cela correspond. \[ P(1 \leq X \leq 2) \qquad \qquad P(1 \leq X) \qquad \qquad P(X \leq 2) \qquad \qquad P(X = 2) \] \item Calculer l'espérance de $X$. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Étrange loi}, step={6}] Soit $X$ une variable aléatoire sur $\intFF{0}{3}$ que l'on associe à la fonction $f(x) = -x^2 + \frac{10}{3}$ \begin{enumerate} \item Calculer \[ \int_0^3 f(x) \; dx \] Est-ce que la fonction $f$ est une fonction de densité sur $\intFF{0}{3}$? \item Tracer sur la calculatrice la courbe représentative de $f$ sur $\intFF{0}{3}$. Et recopier l'allure de cette courbe. \item Calculer les probabilités suivantes en représentant à chaque fois sur le graphique ce à quoi cela correspond. \[ P(1 \leq X \leq 2) \qquad \qquad P(1 \leq X) \qquad \qquad P(X \leq 2) \qquad \qquad P(X = 2) \] \item Calculer l'espérance de $X$. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Primitive et exponentielle}, step={7}] \begin{enumerate} \item Trouver les primitives des fonctions suivantes \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} \item $f(x) = 3e^{3x}$ \item $g(x) = 0.4e^{-0.4x}$ \item $i(x) = e^{5x}$ \item $j(x) = e^{-0.1x}$ \item $k(x) = 10e^{2x}$ \item $l(x) = 0.6e^{-0.2x}$ \end{enumerate} \end{multicols} \item Calculer les quantités suivantes \[ \int_0^3 g(x) \;dx \qquad \qquad \int_{-1}^1 i(x) \;dx \qquad \qquad \int_{10}^{100} l(x) \;dx \] \item Calculer les valeurs moyennes suivantes \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \item De $f(x)$ sur $\intFF{0}{1}$ \item De $j(x)$ sur $\intFF{10}{100}$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Demande}, step={7}] % Centre étranger Juin 2018 Ex4 On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~20]$ par: \[f(x) = \np{1000}(x + 5)\text{e}^{- 0,2x}.\] \medskip \textbf{Partie A - Étude graphique} \medskip On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction $f$. \emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.6] \tkzInit[xmin=0,xmax=22,xstep=1, ymin=0,ymax=6000,ystep=1000] \tkzGrid \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2] \tkzFct{1000*(x+5)*exp(-0.2*x)} \end{tikzpicture} \end{center} \bigskip \begin{enumerate} \item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{3000}$. \item Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de $f$ entre 2 et 8 à une unité d'aire près. Justifier la démarche. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude théorique} \medskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~20]. Démontrer que pour tout $x$ de [0~;~20], $f'(x) = - 200x\text{e}^{-0,2x}$. \item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur l'intervalle [0~;~20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau. \item Démontrer que l'équation $f(x) = \np{3000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur [0~;~20], puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la calculatrice. \end{enumerate} Soit $F(x) = - \np{5000}(x + 10)\text{e}^{-0,2x}$ \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3} \item Démontrer que $F(x)$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~20]. \item Calculer $\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C - Application économique} \medskip La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0~;~20] par la fonction $f$ étudiée dans les parties A et B. Le nombre $f(x)$ représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros. Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes: \bigskip \begin{enumerate} \item En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à \np{3000}~objets ? \item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~8]. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \end{exercise} \collectexercisesstop{banque}