\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Loi exponentielle - exercices}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Avril 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Pannes}]
    On reprend l'activité commencée précédemment. Cette fois-ci, on modélise temps avant la première panne par une loi exponentielle de paramètres 0.02.

    On note $X$ la variable qui représenter le temps avant la première panne. On a donc $X \sim \mathcal{E} (0.02)$ et le loi de densité est
    \begin{enumerate}
        \item Quelle est la formule de la densité, $f(x)$, de $X$?
        \item Démontrer que $F(x) = -e^{-0.02x}$ est une primitive de $f(x)$.
        \item Calculer les quantités suivantes
            \[
                \int_0^{16} f(x) \; dx \qquad  \qquad
                \int_0^{36} f(x) \; dx
            \]
        \item En déduire les quantités
            \[
                P(X \leq 16) \qquad \qquad P(X\leq 36)
            \]
        \item Calculer les probabilités suivantes
            \[
                P(X \leq 24) \qquad \qquad P(X \leq 12)
            \]
        \item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne la première année?
        \item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne la deuxième année?
        \item Quelle est la probabilité que l'appareil tombe en panne après la fin de la 3e année?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Loi exponentielle}]
    \begin{enumerate}
        \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 0.5.
            \begin{enumerate}
                \item Quelle est la densité de $x$? On la notera $f(x)$.
                \item Démontrer qu'une primitive de $f(x)$ est $F(x) = -e^{-0.5x}$
                \item Calculer les probabilités suivantes
                    \[
                        P(X < 1) \qquad P(X < 10) \qquad P(1 < X < 2)
                    \]
            \end{enumerate}
        \item Soit $Y \sim \mathcal{E}(0.01)$, calculer les quantités suivantes
            \[
                        P(Y < 1) \qquad P(Y < 10) \qquad P(10 < Y < 20)
            \]
        \item Soit $Z \sim \mathcal{E}(0.9)$, calculer les quantités suivantes
            \[
                        P(Z < 1) \qquad P(Z < 0.2) \qquad P(0.5 < Z < 0.6)
            \]
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={à l'envers}]
    Soit $T \sim \mathcal{E}(0.02)$.

    Déterminer $x$ tel que $P(T \leq x) = 0.5$.

    Comment interpréter le résultat dans le cadre du premier exercice?
    
\end{exercise}

\end{document}
