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TeX
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Loi normale et écart-type}, step={1}, topics={Loi normale}]
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\begin{enumerate}
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\item Soit $X \sim \mathcal{N}(50, 3)$ calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(47 < X < 53) \qquad
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P(44 < X < 56) \qquad
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P(41 < X < 59)
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\]
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\item Soit $Y \sim \mathcal{N}(10, 0.5)$. En notant $\mu$ l'espérance et $\sigma$ l'écart-type de $Y$, calculer les probabilités suivantes
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\[
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P(\mu - \sigma < Y < \mu + \sigma) \qquad
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P(\mu - 2\sigma < Y < \mu + 2\sigma) \qquad
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P(\mu - 3\sigma < Y < \mu + 3 \sigma)
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\]
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\item Même question pour $Z \sim \mathcal{N}(20, 2)$.
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\item De manière générale, que peut-on dire des probabilités ci-dessous dans le cas de la loi normale?
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\[
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P(\mu - \sigma < Y < \mu + \sigma) \qquad
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P(\mu - 2\sigma < Y < \mu + 2\sigma) \qquad
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P(\mu - 3\sigma < Y < \mu + 3 \sigma)
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\]
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale vers loi normale}, step={1}, topics={Loi normale, Loi binomiale}]
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Dans cet exercice, nous allons étudier l'approximation de la loi binomiale par la loi normale. Dans la première partie, nous étudieront une loi binomiale particulière puis dans la deuxième, nous systématiserons nos calculs. Cette étude se fera à partir du tableur.
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\begin{enumerate}
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\item Soit $X \sim \mathcal{B}(30, 0.4)$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$.
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\item Avec un tableur reproduire le tableau suivant:
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\begin{center}
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\includegraphics[scale=0.4]{./fig/tableur_1}
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\end{center}
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\item Qu'a-t-on écrit dans les cases \texttt{D1} et \texttt{D2} pour calculer automatiquement l'espérance et l'écart-type?
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\item Compléter la colonne \texttt{B} avec les probabilités. Pour cela vous utiliserez la commande \texttt{LOI.Binomiale} (voir l'aide à la fin du document). On fera aller $k$ de 0 à 30 ($n$).
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\item On approche la loi binomiale par la loi normale ayant la même espérance et le même écart-type. On note $Y$ la variable aléatoire qui approche $X$. Quels sont les paramètres de la loi de $Y$?
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\item Compléter la colonne \texttt{C} en utilisant la commande \texttt{Loi.normale} (voir aide à la fin du document).
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\item Tracer un diagramme bâtons avec en abscisse les valeurs de k et en ordonnées les probabilités pour la loi binomiale et la loi normale.
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\item Comparer ces deux graphiques.
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\end{enumerate}
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\item À partir du tableau précédent. Changer les valeurs de $n$ et $p$ pour vérifier quand les deux diagrammes commencent à ne plus correspondre.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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Documentation pour Libreoffice/openoffice
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\begin{itemize}
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\item \texttt{Loi.binomiale}: \url{https://wiki.documentfoundation.org/FR/Calc:_fonction_LOI.BINOMIALE}
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\item \texttt{Loi.normale}: \url{https://wiki.documentfoundation.org/FR/Calc:_fonction_LOI.NORMALE}
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\end{itemize}
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Documentation pour Excel
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\begin{itemize}
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\item \texttt{Loi.binomiale}: \url{https://support.microsoft.com/fr-fr/office/loi-binomiale-loi-binomiale-fonction-506a663e-c4ca-428d-b9a8-05583d68789c}
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\item \texttt{Loi.normale}: \url{https://support.office.com/fr-fr/article/LOI-NORMALE-LOI-NORMALE-fonction-126DB625-C53E-4591-9A22-C9FF422D6D58}
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\end{itemize}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Parité}, step={2}, topics={Statistiques}]
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Dans le tableau ci-dessous ont été reporté les effectifs de différentes entreprises.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{5}{p{1.4cm}|}}
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\hline
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Entreprise& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
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\hline
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Femmes & 400 & 450 & 1080 & 900 & 70 \\
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\hline
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Hommes & 600 & 550 & 920 & 1100 & 50 \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On souhaiterait déterminer quels sont les entreprises qui respectent la parité.
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\begin{enumerate}
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\item Définir succinctement la notion de parité.
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\item D'après vous parmi les entreprises du tableau, lesquelles semblent respecter la parité?
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\item Comment pourrait-on construire un critère pour déterminer si oui ou non une entreprise respecte la parité en se basant uniquement sur ses effectifs? \textit{Cette questions est une question ouverte. C'est à vous de déterminer le ou les critères qui vous semblent pertinents ou à minima un mécanisme de décision}.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Construction de l'intervalle de fluctuation}, step={2}, topics={Statistiques}]
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On reprend le cadre de l'exercice sur la parité et l'on définit la parité de la façon suivante:
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\begin{quote}
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Chaque employé a une chance sur deux d'être une femme.
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\end{quote}
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On concidère une entreprise avec 100 salariés et on suppose qu'elle respecte la parité. Et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de femme dans cette entreprise.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle loi suit la variable aléatoire $X$? Préciser ses paramètres.
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\item On approche $X$ par une loi normale. Expliquer pourquoi cette opération est possible et préciser les paramètres de cette loi. Dans la suite on concidèrera que $X$ suit cette loi normale.
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\item Déterminer $a$ et $b$ pour avoir
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\[
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P(a < X < b) = 0.95
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\]
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\item On définit $I = \dfrac{X}{100}$ la variable aléatoire qui modélise la proportion de femme dans cette entreprise. En vous aidant de la question précédente determiner $c$ et $d$ tel que
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\[
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P(c < I < d) = 0.95
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\]
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\item Interpréter la question précédente.
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\item On condidère une deuxième entreprise qui a elle aussi 100 employés dont 39 femmes. D'après ce qui a été fait précedement, peut-on concidéré qu'elle respecte la parité avec un niveau de confiance de 95\%?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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