535 lines
20 KiB
TeX
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TeX
\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Éléments remarquables du logarithme}, step={1}, topics={Logarithme}]
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative du logarithme.
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\item Repérer les éléments remarquables de cette représentation graphique.
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\item Tracer le tableau de signe de $\ln$.
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\item Tracer le tableau de variation de $\ln$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions}, step={1}, topics={Logarithme}]
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Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = x-2-\ln(x)$
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|
\item $f(x) = 2x^2 - 2x + 4\ln(x)$
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|
\item $f(x) = x\ln(x)$
|
|
\item $f(x) = (x+1)\ln(x)$
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|
\item $f(x) = (\ln(x) + 1)^2$
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|
\item(*) $f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Dériver les fonctions - Bis}, step={1}, topics={Logarithme}]
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Dériver les fonctions suivantes puis mettre sous une forme pratique pour l'étude de signe.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = 2x - \ln(x) + 2$
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|
\item $f(x) = x^3 - 4\ln(x)$
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|
\item $f(x) = e^{3x} + 2 $
|
|
\item $f(x) = (2x - 2)\ln(x)$
|
|
\item(*) $f(x) = (\ln(x) + 1)(3x+2)$
|
|
\item(*) $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{11}$ par
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\[
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f(x) = -0.5x^2 + 2x + 15\ln(x)
|
|
\]
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\begin{enumerate}
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|
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
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\[
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|
f'(x) = \frac{-x^2 + 2x + 15}{x}
|
|
\]
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|
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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|
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{11}$.
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|
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$.
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|
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
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|
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={2}, topics={Logarithme}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intFO{0}{+\infty}$ par
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\[
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|
f(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x}
|
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\]
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\begin{enumerate}
|
|
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
|
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\[
|
|
f'(x) = \frac{-\ln(x)}{x^2}
|
|
\]
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|
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
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|
\item Déterminer le minimum de la fonction $f$.
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|
\item En déduire le tableau de signe de $f$.
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|
\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Recherche par dichotomie}, step={2}, topics={Logarithme}]
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On considère la fonction $f$ définie sur $\intFF{1}{5}$ par
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\[
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|
f(x) = 3x -10 + 4\ln(x)
|
|
\]
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|
\begin{enumerate}
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|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Démontrer que la dérivée de $f$ est
|
|
\[
|
|
f'(x) = \frac{3x + 4}{x}
|
|
\]
|
|
\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$.
|
|
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution, $\alpha$, sur $\intFF{1}{5}$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item On souhaite trouver un encadrement de $\alpha$ par la méthode de dichotomie.
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|
Pour cela, on propose l'algorithme suivant:
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\begin{center}
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|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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|
\begin{algorithm}[H]
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|
\SetAlgoLined
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|
$a \leftarrow 1$ \;
|
|
$b \leftarrow 5$ \;
|
|
\Tq{$b-a \geq 0.01$}{
|
|
$m \leftarrow \dfrac{b+a}{2}$ \;
|
|
\eSi{f(m) < 0}{
|
|
$a \leftarrow m$\;
|
|
}{
|
|
$b \leftarrow m$\;
|
|
}
|
|
}
|
|
\Retour{$a, b$}
|
|
\end{algorithm}
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{center}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item En vous aidant du tableau ci-dessous (vous pouvez ajouter des lignes si nécessaire) exécuter l'algorithme pour trouver un encadrement d'amplitude 0.01 de $\alpha$.
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|
\begin{center}
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|
\begin{tabular}{|*{5}{p{2cm}|}}
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|
\hline
|
|
$a$ & $b$ & $(b-a) \geq 0.01$ & $m$ & $f(m) < 0$ \\
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|
\hline
|
|
& & & & \\
|
|
\hline
|
|
& & & & \\
|
|
\hline
|
|
& & & & \\
|
|
\hline
|
|
\end{tabular}
|
|
\end{center}
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|
\item Expliquer le fonctionnement de cet algorithme en quelques phrases.
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|
\end{enumerate}
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|
\end{enumerate}
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|
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Primitives}, step={3}, topics={Logarithme}]
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|
Calculer les primitives des fonctions suivantes
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\begin{multicols}{2}
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|
\begin{enumerate}
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|
\item $f(x) = \dfrac{1}{x} + x$
|
|
\item $g(x) = -\dfrac{4}{x}$
|
|
\item $h(x) = 5x + \dfrac{10}{x}$
|
|
\item $i(t) = 2t + \dfrac{4}{t} - 2\dfrac{1}{t^2}$
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{multicols}
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|
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Coût de fabrication}, step={3}, topics={Logarithme}]
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|
Un usine fabrique entre \np{1000} et \np{7000} objets pas semaines.
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|
Un étude des moyens de productions a permis de modéliser les coûts de production par la fonction $C$ définie sur $\intFF{1}{7}$ par
|
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\[
|
|
c(x) = 1,5x^2 - 9x + 24 + \dfrac{48}{x}
|
|
\]
|
|
où $x$ représente la production hebdomadaire en milliers d'objets.
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Étude des variations des coûts.
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Démontrer que la dérivée de $c$ est
|
|
\[
|
|
c'(x) = \frac{3(x-4)(x^2+x+4)}{x^2}
|
|
\]
|
|
\item Étudier le signe de $c'$ et en déduire les variations de $c$
|
|
\item Pour quelle production les coûts de productions sont-ils minimal?
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Étude des coûts de productions moyen.
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Démontrer qu'une primitive de $c$ est
|
|
\[
|
|
C(x) = 0.5x^3 - 4,5x^2 + 24x + 1 + 48\ln(x)
|
|
\]
|
|
\item Calculer la valeur moyenne de $c$ sur $\intFF{1}{7}$.
|
|
\item Interpréter le résultat précédent.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
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\begin{exercise}[subtitle={Coût de fabrication}, step={4}, topics={Logarithme}]
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|
% Polynésie Juin 2019 Ex 4
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\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}
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|
\textbf{Partie A}
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\medskip
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|
|
|
Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.
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|
|
|
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par
|
|
|
|
\[f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x).\]
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|
|
|
On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~9] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
|
|
|
|
Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~9] on a : $f'(x)= \dfrac{x^2 -7 x + 6}{x}$.
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9] :
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,Variations de\\ $f(x)$/2}{1, 6, 9}
|
|
\tkzTabVar{+/ , -/ , +/ }
|
|
\end{tikzpicture}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item Justifier que, sur l'intervalle [1~;~9], l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
|
|
\item Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
|
|
\item On considère l'algorithme ci-dessous:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
|
|
$X \gets 1$\\
|
|
$Y \gets 7,5$\\
|
|
Tant que $Y > 5$\\
|
|
\hspace{12mm}$X \gets X + 0,01$\\
|
|
\hspace{12mm}$Y \gets 0,5X^2 - 7X + 14 + 6*\ln (X)$\\
|
|
Fin Tantque\\ \hline
|
|
\end{tabularx}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
À la fin de l'exécution de l'algorithme, quelle valeur numérique contient la variable $X$?
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Pour quelle quantité de pneus, le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est-il minimal ?
|
|
À combien s'élève-t-il ?
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\bigskip
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|
|
|
\textbf{Partie B}
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|
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|
\medskip
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|
|
|
|
|
Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
|
|
On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par
|
|
|
|
\[g (x) = 2x -1 + \text{e}^{0,05x}\]
|
|
|
|
modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~100].
|
|
\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~100].
|
|
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\end{exercise}
|
|
|
|
\begin{solution}
|
|
\textbf{Partie A}
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
Une entreprise produit chaque année entre $100$ et $900$ pneus pour tracteurs.
|
|
|
|
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ par
|
|
$f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x)$.
|
|
|
|
On admet que la fonction $f$ modélise le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu, exprimé en centaines d'euros, pour $x$ centaines de pneus produits.
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item% La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
|
|
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ on a
|
|
$f(x ) = 0,5 x^2 - 7x + 14 + 6\ln (x)$ donc\\
|
|
$f'(x)= 0,5\times 2x - 7 + 6\times \dfrac{1}{x}
|
|
= x-7-\dfrac{6}{x}
|
|
= \dfrac{x^2-7x+6}{x}$.
|
|
|
|
%Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left [1~;~9\strut\right ]$ on a : $f'(x)= \dfrac{x^2 -7 x + 6}{x}$.
|
|
\item
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item On va justifier les variations suivantes de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9] :
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
|
|
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres
|
|
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
|
|
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
|
|
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
|
|
\hline
|
|
x & 1 & \esp & 6 & \esp & 9 \\
|
|
\hline
|
|
& \Rnode{max1}{\phantom{0}} & & & & \Rnode{max2}{\phantom{0}} \\
|
|
\text{Variations de } f & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
|
|
& & & \Rnode{min}{\phantom{0}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
|
|
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
|
|
%\rput*(-3.7,0.65){\Rnode{zero}{\blue 0}}
|
|
%\rput(-3.7,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
|
|
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
|
|
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
|
|
%\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}}
|
|
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
|
|
\\
|
|
\hline
|
|
\end{array}$
|
|
}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Sur $\left [1~;~9\strut\right ]$, $f'(x)$ est du signe de $x^2-7x+6$.
|
|
|
|
$\Delta = 7^2 - 4\times 1\times 6 = 49-24=25=5^2$ donc le trinôme $x^2-7x+6$ admet deux racines:\\[3pt]
|
|
$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{7-5}{2}=1$ et $x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{7+5}{2}=6$.
|
|
|
|
\smallskip
|
|
|
|
On en déduit le signe du trinôme (positif à l'extérieur des racines) donc de $f'(x)$:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
|
|
\def\esp{\hspace*{1.2cm}}
|
|
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |}
|
|
\hline
|
|
x & 1 & \esp & 6 & \esp & 9 \\
|
|
\hline
|
|
f'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\
|
|
\hline
|
|
\end{array}$
|
|
\end{center}
|
|
|
|
Cela justifie les variations de $f$.
|
|
|
|
\item% Justifier que, sur l'intervalle [1~;~9], l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$.
|
|
On complète le tableau de variations de $f$:
|
|
$f(1)=7,5$, $f(6)\approx 0,75$ et $f(9)\approx 4,7$
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
|
|
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres
|
|
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
|
|
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
|
|
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
|
|
\hline
|
|
x & 1 & \esp & 6 & \esp & 9 \\
|
|
\hline
|
|
& \Rnode{max1}{7,5} & & & & \Rnode{max2}{\approx 4,7} \\
|
|
\text{Variations de } f & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
|
|
& & & \Rnode{min}{\approx 0,75} & & \rule{0pt}{\hauteur}
|
|
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
|
|
\rput*(-4.5,0.65){\Rnode{zero}{\blue 5}}
|
|
\rput(-4.5,1.7){\Rnode{alpha}{\blue \alpha}}
|
|
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
|
|
\\
|
|
\hline
|
|
\end{array}$
|
|
}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
On en déduit que sur $\left [1~;~9\strut\right ]$, l'équation $f(x)=5$ admet une solution unique $\alpha$.
|
|
|
|
|
|
\item %Donner un encadrement au centième près de $\alpha$.
|
|
$\left.
|
|
\begin{array}{l}
|
|
f(2)\approx 6,2 > 5\\
|
|
f(3)\approx 4,1 < 5
|
|
\end{array}
|
|
\right\rbrace
|
|
\Rightarrow
|
|
\alpha \in \left [ 2~;\,3\strut\right ]$
|
|
\hfill
|
|
$\left.
|
|
\begin{array}{l}
|
|
f(2,5)\approx 5,1 > 5\\
|
|
f(2,6)\approx 4,9 < 5
|
|
\end{array}
|
|
\right\rbrace
|
|
\Rightarrow
|
|
\alpha \in \left [ 2,5~;\, 2,6 \strut\right ]$
|
|
|
|
$\left.
|
|
\begin{array}{l}
|
|
f(2,55)\approx 5,018 > 5\\
|
|
f(2,56)\approx 4,997 < 5
|
|
\end{array}
|
|
\right\rbrace
|
|
\Rightarrow
|
|
\alpha \in \left [ 2,55~;\, 2,56 \strut\right ]$
|
|
|
|
\item On considère l'algorithme ci-dessous:
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
|
|
$X \gets 1$\\
|
|
$Y \gets 7,5$\\
|
|
Tant que $Y > 5$\\
|
|
\hspace{12mm}$X \gets X + 0,01$\\
|
|
\hspace{12mm}$Y \gets 0,5X^2 - 7X + 14 + 6*\ln (X)$\\
|
|
Fin Tantque\\ \hline
|
|
\end{tabularx}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
À la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable $X$ contient la valeur $2,56$, première valeur au centième pour laquelle $Y>5$.
|
|
\end{enumerate}
|
|
\item Le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est minimal quand la fonction $f$ atteint son minimum c'est-à-dire pour $x=6$; c'est donc pour la fabrication de 600 pneus que le coût moyen annuel de fabrication d'un pneu est minimal. Ce coût est, en euro, de $f(6)\times 100 \approx 75$.
|
|
%À combien s'élève-t-il ?
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\bigskip
|
|
|
|
\textbf{Partie B}
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
Cette même entreprise envisage la fabrication de semoirs (gros matériel agricole).
|
|
|
|
On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$ par
|
|
$g (x) = 2x -1 + \e^{0,05x}$
|
|
modélise le coût de fabrication, exprimé en centaines d'euros, de $x$ semoirs.
|
|
|
|
\medskip
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item %Donner une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$.
|
|
Sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$, la fonction $g$ a pour primitive la fonction $G$ définie par\\
|
|
$G(x)=x^2 - x + \dfrac{\e^{0,05x}}{0,05} = x^2-x +20\e^{0,05x}$.
|
|
|
|
\item La valeur moyenne $m$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $\left [0~;~100\strut\right ]$ est:
|
|
|
|
$m=\dfrac{1}{100-0} \ds\int_{0}^{100} g(x) \d x = \dfrac{1}{100} \left [G(100) - G(0) \strut\right ]
|
|
=\dfrac{1}{100}\left [ \left ( \np{9900} + 20\e^{5}\right ) - \left ( 20\right ) \right ]
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= \np{9880} +20\e^{5}\\[3pt]
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\phantom{m}
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\approx \np{128,46}$
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\item %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
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Le coût moyen d'un semoir est donc, en euro, $128,46 \times 100 = \np{12846}$.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonction}, step={4}, topics={Logarithme}]
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% Métropole Septembre 2019 Ex 3
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La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et deux
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fois dérivable sur l'intervalle [1,1~;~8].
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1.5, domain=1:8]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=9,xstep=1,
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ymin=0,ymax=12,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\clip (1.1, 0) rectangle (9,12);
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\tkzFct[line width=1pt]{(2.*x-1.)/log(x)}
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.}
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\bigskip
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\textbf{Partie A : étude graphique}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Donner une valeur approchée du minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle
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[1,1~;~8]
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\item Quel est le signe de $f'(5)$ ? Justifier.
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\item Encadrer l'intégrale $\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{2}4 f(x)\:\text{d}x$ par deux entiers consécutifs.
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\item La fonction $f$ est-elle convexe sur [1,1~;~3] ? Justifier.
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B : étude analytique}
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\medskip
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On admet que $f$ est la fonction définie sur l'intervalle [1,1~;~8] par
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\[f(x) = \dfrac{2x - 1}{\ln (x)}.\]
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\smallskip
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\begin{enumerate}
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\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8], on a :
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\[f'(x) = \dfrac{2\ln (x) - 2 + \frac{1}{x}}{(\ln (x))^2}\]
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\item Soit $h$ la fonction définie sur [1,1~;~8] par : $h(x) = 2\ln (x) - 2 + \frac{1}{x}$.
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\begin{enumerate}
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\item Soit $h'$ la fonction dérivée de $h$ sur l'intervalle [1,1; 8].
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Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1,1~;~8],
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\[h'(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}.\]
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\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [1,1~;~8].
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\item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur
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l'intervalle [1,1~;~8]. Donner un encadrement de $\alpha$ par deux entiers
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consécutifs.
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\end{enumerate}
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\item Déduire des résultats précédents le signe de $h(x)$ sur l'intervalle [1,1~;~8].
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\item À l'aide des questions précédentes, donner les variations de [ sur [1,1~;~8].
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Loi de Benfort}, step={4}, topics={Logarithme}]
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% Métropole Juin 2017 Ex 4
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Dans cet exercice, on considère le premier chiffre des entiers naturels non nuls, en écriture décimale. Par exemple, le premier chiffre de \np{2017} est 2 et le premier chiffre de 95 est 9.
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Dans certaines circonstances, le premier chiffre d'un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ telle que pour tout entier $c$ compris entre 1 et 9,
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\[P(X = c) = \dfrac{\ln (c + 1) - \ln (c)}{\ln(10)}.\]
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Cette loi est appelée loi de Benford.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Que vaut $P(X = 1)$ ?
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\item On souhaite examiner si la loi de Benford est un modèle valide dans deux cas particuliers.
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{Premier cas}
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Un fichier statistique de l'INSEE indique la population des communes en France au 1\ier{} janvier 2016 (champ: France métropolitaine et départements d'outre-mer de la Guadeloupe, de la Guyane, de la Martinique et de la Réunion).
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À partir de ce fichier, on constate qu'il y a \np{36677} communes habitées. Parmi elles, il y a \np{11094} communes dont la population est un nombre qui commence par le chiffre 1.
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Cette observation vous semble-t-elle compatible avec l'affirmation : \og{}le premier chiffre de la population des communes en France au 1 er janvier 2016 suit la loi de Benford \fg{} ?
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\item \textbf{Deuxième cas}
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Pour chaque candidat au baccalauréat de la session 2017, on considère sa taille en centimètres.
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On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au premier chiffre de la taille en centimètres d'un candidat pris au hasard.
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La loi de Benford vous semble-t-elle une loi adaptée pour $X$ ?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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