2019-2020/Tsti2d/Analyse/Limites/1E_limite_suite.tex

68 lines
2.8 KiB
TeX

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Recherche de limite de suite - Limites}
\tribe{Terminale Sti2d}
\date{Novembre 2019}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Avec la calculatrice}]
Déterminer grâce à la calculatrice la limite de chacune des suites suivantes.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_0 = -2$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
\item $v_0 = 5$ et $w_{n+1} = 1.1w_n+1$
\item $w_n = 3n^3 - 10n^2 + 1$
\item $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 1.1u_n$
\item $v_0 = -4$ et $v_{n+1} = 0.9v_n + 1$
\item $w_n = -2n^3 + 100n^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Limite d'une suite}]
Retrouver les limites des suites suivantes sans utiliser la calculatrice.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $u_0 = 6$ et $u_{n+1} = 2u_n$
\item $(u_n)$ géométrique telle que $u_0=10$ et $q=0.5$
\item $u_{n} = 1 + 0.5^n$
\item $u_0 = -6$ et $u_{n+1} = 10u_n$
\item $(u_n)$ géométrique telle que $u_0=0.5$ et $q=1.1$
\item $u_{n} = 4 + 1.5^n$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Utilisateurs d'une machine à café}]
Au premier janvier, on comptait \np{60000} utilisateurs d'une machine à café. On estime que chaque mois, 10\% des propriétaires cessent de l'utiliser mais on compte \np{24000} nouveaux utilisateurs.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le nombre d'utilisateur de cette machine à café $n$ mois après le premier janvier 2017 peut être modélisé par la suite $(u_n)$ définie par
\[
u_0 = \np{60000} \quad \mbox{ et } u_{n+1} = 0.9u_n + \np{24000}
\]
\item Pourquoi la suite $(u_n)$ n'est elle pas géométrique?
\item Avec l'aide de la calculatrice, conjecturer la limite de cette suite $(u_n)$.
\item On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entiers naturel $n$ par $v_n = u_n -\np{240000}$. On admet que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0.9 et de premier terme -\np{180000}. Démontrer que pour tout $n$ on a
\[
v_n = -\np{180000}\times 0.9^n
\]
\item Quelle est la limite de la suite $(v_n)$?
\item Démontrer que pour tout entier $n$, $u_n = \np{240000} - \np{180000}\times0.9^n$
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\printexercise{exercise}{3}
\end{document}