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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\title{Loi binomiale - modélisation}
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\tribe{TESL}
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\date{Février 2020}
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\pagestyle{empty}
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%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Suite - Liban 2018}]
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80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $\np{0,02192}$.
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Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.
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end\begin{enumerate}
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\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
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\item
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\begin{list}{\textbullet}{Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de:}
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\item la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique;
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\item la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.
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\end{list}
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\item Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Antille-Guyane 2018}]
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Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d'affronter des obstacles à l'aide de personnages qui peuvent être de trois types: \og Terre \fg, \og Air\fg{} ou \og Feu \fg.
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Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d'un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.
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Le jeu a été programmé de telle sorte que :
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\begin{itemize}
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\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} est $0,3$ ;
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\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Air \fg{} est $0,5$ ;
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\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$ ;
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\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Air\fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$ ;
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\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.
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\end{itemize}
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On note les évènements suivants :
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\begin{itemize}
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\item[$\bullet~~$] $T$ : la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} ;
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\item[$\bullet~~$] $A$ : la partie débute avec un personnage de type \og Air \fg{} ;
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\item[$\bullet~~$] $F$ : la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg{} ;
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\item[$\bullet~~$] $C$ : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
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\end{itemize}
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$T$}
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child {node {$S$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{C}$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child[missing] {}
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child {node {$A$}
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child {node {$C$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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}
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child {node {$\overline{C}$}
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edge from parent
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node[above] {...}
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|
}
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|
edge from parent
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|
node[above] {...}
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|
}
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child[missing] {}
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child { node {$F$}
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|
child {node {$C$}
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|
edge from parent
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node[above] {...}
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|
}
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child {node {$\overline{C}$}
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|
edge from parent
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node[above] {...}
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|
}
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|
edge from parent
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node[above] {...}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\end{center}
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\item Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type \og Air \fg.
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\item Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.
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\item On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie.
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Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type \og Air\fg{} ?
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\end{enumerate}
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\bigskip
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\textbf{Partie B}
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\medskip
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On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
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On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type \og Terre \fg{} est $0,3$.
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$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type \og Terre \fg{} obtenus au début de ses $10$ parties.
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\medskip
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\begin{enumerate}
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\item Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type \og Terre \fg{} au début de ses $10$ parties.
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\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type
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\og Terre \fg{} au début de ses $10$ parties.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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